Archiv rubriky: KMT/​MMM1

Meto­dy mate­ma­tic­ké­ho mode­lo­vá­ní 1

MMM1 — statistika výsledků z pondělka:

Ahoj všem, udě­lal jsme si tako­vou malou sta­tis­ti­ku výsled­ků. Do těch­to výsled­ků jsem zvlášť zapo­čí­tal pou­ze lidi, kte­ří mají více, než nula.

Zdrojová data

Vychá­zím z násle­du­jí­cích tabul­ko­vých dat:

Počet bodů
6 10 11.5 10.5 10.5 15 1.5 12
5.5 11 10 9 8 8.5 11.5 6
10.5 10 4 5.5 10 13.5

Cel­ko­vý prů­měr (bodo­vý) je tedy zao­krouh­le­ně 10,45 bodů, čili z těch, kte­ří dosáh­li více než nula bodů může­me tvr­dit, že v prů­mě­ru na body byl test úspěš­ný.

Mlu­ví­me-li o čísel­ných hod­no­tách, máme cel­kem 8 neú­spěš­ných a 13 úspěš­ných výsled­ků. Zapo­čí­tám-li výsled­ky i těch, kte­ří dosáh­li nul či vůbec na test nepři­šli, bylo cel­kem 10 nul, v prů­mě­ru tedy výsle­dek 7,18 bodů a k 8 neú­spěš­ným tak pří­bý­vá i těch­to 10 neú­spěš­ných, cel­kem tedy 18 neú­spěš­ných.

Mlu­ví­me-li o úspěš­ných, bylo 1× 15 bodů, 1× 13,5 bodů, 1× 12 bodů (oujé), 2× 11,5 bodů, 1× 11 bodů, 3× 10,5 bodů a 4× 10 bodů. Váže­ný bodo­vý prů­měr z těch­to hod­not, kte­rý se počí­tá jako:

Prumer = \frac{bodu \times pocet + bodu_2 \times pocet_2 + \ldots + bodu_n \times pocet_n}{\sum pocet}

Ten­to prů­měr vychá­zí jako 11,23 bodů. Nu, proč ne 😉

MMM1 splněno, jupí ;)

Dnes se koneč­ně obje­vi­ly výsled­ky, tak­že se 12 body spl­ně­no, jupí 😉 Gra­tu­lu­ji vítězům 😉

Sice jsem čekal napros­to jiné roz­lo­že­ní bodů (čekal jsem, že prv­ní dva pří­kla­dy dám na maxi­mum, tře­dí na půl a čtvr­tý na půl) a ono jsem měl prv­ní napůl, dru­hý na maxi­mum, tře­tí na půl a čtvr­tý na maxi­mum 😉 😉 To by mě zají­ma­lo, co jsem v tom prv­ním udě­lal jinak 😉 Budu se na to muset zajít podí­vat 😉

MMM1 — pondělní test (poslední ukázkový příklad s vektory)

Zde uvá­dím posled­ní pří­klad s vek­to­ry. Snad tam nebu­dou chy­by 😉 Jinak ten­to člá­nek nava­zu­je na člá­nek o 2. tes­tu z MMM1, kte­rý se zde též nachá­zí.

Nej­pr­ve musí­me určit, zda-li jsou vek­to­ry line­ár­ně závis­lé. To zjis­tí­me vel­mi snad­no tím, že vek­to­ry „vecpe­me“ do mati­ce, polo­ží­me rov­nou nulo­vé­mu vek­to­ru a pro­ve­de­me nad mno­ži­nou eli­mi­na­ci:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ -1 & 5 & 2 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}

\thicksim

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Tady vidí­me, že se nám „vyru­šil“ posled­ní řádek, čímž jsme zjis­ti­li odpo­věď na otáz­ku line­ár­ní závis­los­ti — vek­to­ry jsou závis­lé. Nu ale bude­me pokra­čo­vat. Zba­ví­me se ješ­tě něja­kých čísel, nejdří­ve ale vydě­lí­me 2. řádek troj­kou, abychom dosta­li jed­nič­ky a měli „to jed­no­duš­ší“. Vyjde tedy:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Nu a teď jed­no­du­še může­me od 1. řád­ku ode­číst 2. řádek, abychom dosta­li nulu v posled­ním sloup­ci v prv­ním řád­ku.:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -3 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0\end{pmatrix}

Může­me tedy tvr­dit, že:

a_1 - 3a_2 = 0

a_2 + a_3 = 0

a_3 = k

A pak samo­zřej­mě pou­ze dosa­dit, tak­že:

a_2 = -k

a_1 = -3k

Netri­vi­ál­ní řeše­ní tedy máme jako vek­tor:

(-3k, -k, k)

A to je celé, tády­dá­dy­dá 😉

MMM1 pondělní test

Ahoj všem, dávám sem (ale­spoň někte­ré) řeše­né úlo­hy, kte­ré budou (ze vzo­ro­vé­ho tes­tu, kte­rý je dole pod pří­spěv­kem při­lo­žen). A kdy­bys­te mi tu našli něja­kou nesrov­na­lost, chy­bu, špat­nej postup — tak mi halv­ně dej­te vědět 😉 😉

Určete obor pravdivosti nerovnice:

Jed­ná se o nerov­ni­ci:

\frac{|x-2|}{(2x+5)x} \leq 0

Ze vše­ho nejdří­ve je potře­ba si uvě­do­mit, že se jed­ná o výpo­čet s abso­lut­ní hod­no­tou. Pří­klad pro­to roz­dě­lí­me na dvě čás­ti — na část, kdy „věc“ v abso­lut­ní hod­no­tě je klad­ná (a abso­lut­ní hod­no­tu tedy sluš­ně igno­ru­je­me) a na situ­a­ci, kdy před­po­klá­dá­me, že „věc“ v abso­lut­ní hod­no­tě je zápor­ná. Naštěs­tí pro nás máme pou­ze jed­nu abso­lut­ní hod­no­tu, jinak bychom muse­li určit tuto pro všech­ny abso­lut­ní hod­no­ty.

Prv­ní situ­a­ce — před­po­klá­dá­me klad­nou hod­no­tu v abs. hod­no­tě:

Bude­me tedy abs. hod­no­tu igno­ro­vat: (s klad­ným čís­lem abs() nic neu­dě­lá, tak­že jako by tam neby­la…)

\frac{x-2}{(2x+5)x} \leq 0

a vyře­ší­me situ­a­ci, pro kte­rá x daná věc pla­tí. Jeden bod vidí­me hned, a to sice „nulo­vý“ — chce­me-li mít zlo­mek nulo­vý, sta­čí čita­tel nulo­vý. Potom pro:

x-2=0, -x+2 = 0

tak­že

x=2

Dělí­cím“ bodem je tedy x=2, čili teď bude­me roz­ho­do­vat na „klad­nost“ pod­le toho, jest­li x<2, ane­bo x>2 a pak vyře­ší­me pro kaž­dou oblast zvlášť. Tyto oblas­ti spo­jí­me sjed­no­ce­ním, pro­to­že pla­tí, že pla­tí pro něja­kou část jed­no řeše­ní a pro něja­kou část dal­ší řeše­ní.

Vez­mě­me to tedy pěk­ně zpra­va — pokud je tedy x>2. Pokud tedy tuto pla­tí, je i výraz v abs. hod­no­tě vždy klad­ný a potom píše­me:

\frac{x-2}{(2x+5)x} < 0

Pokud hle­dá­me zlo­mek (podíl), kte­rý má být men­ší nule (zápor­ný), potom musí být čita­tel klad­ný a jme­no­va­tel zápor­ný ane­bo nao­pak. Musí­me zde tedy roz­dě­lit řeše­ní na dvě pod­čás­ti:

Nej­pr­ve vari­an­ta klad­ný čita­tel a zápor­ný jme­no­va­tel:

x-2 > 0

x>2

A pro jme­no­va­tel:

(2x+5)x < 0

Výraz odpo­ví­dá kon­vex­ní para­bo­le, jejíž koře­ny jsou −5÷2 a 0. Zápor­ná se nachá­zí jen mezi těmi­to body, čili pla­tí, že:

-5/2 < x < 0

Obě řeše­ní musí pla­tit sou­čas­ně, čili tato vari­an­ta nemá řeše­ní. Jupí. Jde­me na dru­hou mož­nost — zápor­ný čita­tel a klad­ný jme­no­va­tel.

Pro čita­tel tedy:

x-2<0

x<2

Hod­no­ta čita­te­le tedy vyšla x<2, nicmé­ně řeší­me even­tu­a­li­tu, kdy x musí být vět­ší 2, čili nee­xis­tu­je prů­nik těch­to dvou mno­žin a řeše­ní opět nee­xis­tu­je (dru­hou část ani řešit nemu­sí­me). Jupí podru­hé 😉

Nyní zbý­vá jen jed­no­du­še spo­čí­tat totéž ale pro opač­nou hod­no­tu výra­zu v abso­lut­ní hod­no­tě. Tedy pro x<2.

Nej­pr­ve pro klad­ný čita­tel a zápor­ný jme­no­va­tel:

Pro čita­tel tedy:

-x+2 > 2

x<2

Pro jme­no­va­tel:

(2x+5)x < 0

Což je totéž, co před tím. Tedy inter­val (−5÷2; 0). Pokud má ten­to inter­val pla­tit sou­čas­ně s x<2, zby­de jen ten­to inter­val, tedy (-5/2;0). Máme něja­kou prv­ní hod­no­tu, výbor­ně 😉

No a na konec pro zápor­ný čita­tel a klad­ný jme­no­va­tel.

Zápor­ný čita­tel:

-x+2<0

x>2

No a stej­ně jako o pár vzo­reč­ků výše, toto nedá žád­né řeše­ní, čili hoto­vo. 😉

Co nám tedy zby­lo — pou­ze inter­val (-5/2;0). Nicmé­ně nesmí­me zapo­me­nout, že v zadá­ní bylo „men­ší nebo rov­no nule“ — a pro nulu jsme spo­čí­ta­li, že se jed­ná o bod „2“. Celé řeše­ní je tedy sjed­no­ce­ním (jak jsem psal výše) těch­to hod­not a inter­va­lů: Tedy:

x \in (-\frac{5}{2}; 0) \cup {2}

Neza­po­meň­te, že závor­ky jsou kula­té — počí­ta­li jsme pro „men­ší než“ a sle­pi­li to nako­nec s hod­no­tou pro „rov­no“ 😉

Řešení rovnice s kombinačními čísly:

Tady je to vel­mi jed­no­du­ché. Je tře­ba si uvě­do­mit základ­ní „vzo­re­ček“ pro výpo­čet kom­bi­nač­ní­ho čís­la:

{{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Čili jed­no­du­še pro zadá­ní:

2{{x-1}\choose{2}}-2 = 2{{x}\choose{3}}

2 \frac{(x-1)!}{2!(x-1-2)!}-2 = 2 \frac{x!}{3!(x-3)!}

Tak­že teď se jen tri­vi­ál­ně zba­vit fak­to­ri­á­lů:

2 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2!(x-3)!}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3!(x-3)!}

Poškr­tá­me, co jde, fak­to­ri­á­ly čísel pře­ve­de­me na obyč čís­la:

2 \frac{(x-1)(x-2)}{2}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)}{6}

Nu a tohle už bychom měli snad­no vyře­šit:

(x-1)(x-2)-2 = \frac{x(x-1)(x-2)}{3}

x^2-3x+2 - 2 = \frac{1}{3} x (x^2-3x+2)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3-3x^2+2x)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3) - x^2+\frac{2}{3}x

-\frac{1}{3}(x^3) +x^2 + x^2 -3x -\frac{2}{3}x = 0

-\frac{1}{3}(x^3) +2x^2 -\frac{11}{3}x = 0

-x(\frac{1}{3}(x^2) +2x -\frac{11}{3}) = 0

Tady rov­nou vidí­me mož­nost tří koře­nů. Jede je auto­ma­tic­ky hned x=0, to je jas­né. Dal­ší koře­ny však vyjdou kom­plex­ně, čili koře­ny neře­ším (zadá­ní je v obo­ru přir. čísel) 😉 Řeše­ní je tedy x=0 😉 FFFUUU! 😉

Určete graficky komp. čísla z, která jsou řešením soustavy nerovnic:

\mathrm{Re}~z > \mathrm{Im}~z

|z| < 1

Řeše­ní je oprav­du pros­té. Nakres­lí­me si reál­nou a ima­gi­nár­ní osu a zjis­tí­me, pro kte­ré reál­né koe­fi­ci­en­ty pla­tí, že jsou vět­ší, než ima­gi­nár­ní:

re_im_všechno

Pokud omlu­ví­te mé umě­lec­ké schop­nos­ti v malo­vá­ní tedy 😀 Ale jak vidí­te, je to jas­né — všec­ko, co je pod čarou (!! bacha, bez čáry, má to být men­ší a ne men­ší nebo rov­no !!) a i co je pod osou X, pros­tě „všu­de dole“ už, vyho­vu­je prv­ní rov­ni­ci.

Zapra­cu­je­me na dru­hé rov­ni­ci — ta nám říká, že máme vybrat pou­ze hod­no­ty pro abso­lut­ní hod­no­tu men­ší, než „1“. Bude to tedy krou­žek o polo­mě­ru „1“ kolem bodu [0, 0]. A řeše­ním je to, co se nachá­zí v prů­ni­ku toho­to krouž­ku (bez okra­je, má být men­ší, než 1!) a této oblas­ti pod čarou, tedy něco jako zde, vše co je zele­né bez oran­žo­vé je vlast­ně výsle­dek 😉

re_im_ořez

Nu a vek­to­ry (pos­len­dí pří­klad) budu řešit až v nedě­li (dnes), tak­že oče­ká­vej­te, pokud to někdo sle­du­je­te, něja­ké řeše­ní 😉 Zatím 😉

Tož vek­to­ry jsou vyře­še­né, avšak v samo­stat­ném člán­ku 😉

[wpba-atta­chment-list]

Metoda Monte Carlo pro výpočet PI

Udě­lal jsem jed­no­du­chý skript na pou­ži­tí meto­dy „Mon­te Car­lo“, kte­rý přes náhod­ný výběr hod­not, kte­rá hází do čtver­ce, vybí­rá­me hod­no­ty, kte­ré jsou náhod­ně uvnitř vepsa­né­ho kru­hu. Čím vět­ší čís­lo dáte, tím blí­že se poměr hod­not bude blí­žit čtvr­ti­ně pí. Pokud zadá­te čís­la kolem 100 000, už bude skript chvil­ku počí­tat, tak se nediv­te 😉

Odkaz na skript 😉

KMT/​MMM1 — Indický šáh a šachovnice

Během úter­ní před­náš­ky RNDr. Kohout před­ná­šel o kom­bi­na­to­ri­ce a nara­zil na „kla­sic­ké“ téma indic­ké­ho šáha a šachov­ni­ce, kdy měl dát na šachov­ni­ci počet zrní­ček vždy tak, že na násle­du­jí­cí měl dát 2× vět­ší množ­ství zrní­ček, než na to před­cho­zí.

Pro před­sta­vu, kolik to je zrní­ček prá­vě slou­ží ten­to skript, kde si může­te udě­lat i drob­né úpra­vy vstup­ních hod­not. Skript vyu­ží­vá knihov­ny bcmath s přes­nos­tí výpo­čtu na 1000 míst, tak­že aby skript „pře­te­kl“, musí­te zadat vět­ší hod­no­ty.

Odkaz na skript: Indic­ký šáh a šachov­ni­ce.

Výsledky testu z MMM1 jsou na CW!

Páni a dámo­vé, výsled­ky z pon­děl­ní­ho tes­tu z MMM1 jsou na CW, gra­tu­lu­ji vítězům 😉 Sou­bor bohu­žel kvů­li záko­nu o ochra­ně osob­ních infor­ma­cí zve­řej­nit nemo­hu, ale najde­te ho tam 😉

<zpru­ze­né kecy o EU>
Btw. sou­bor samot­ný ten­to zákon poru­šu­je, stu­dent nesmí vědět bodo­vé zhod­no­ce­ní svých spo­lu­žá­ků, pokud tito k tomu neda­jí sou­hlas či pokud to není zkou­še­ní „před tří­dou“ 😉 Stu­den­ti by nemě­li mít mož­nost ani na zákla­dě něja­kých infor­ma­cí (stu­dij­ní čís­lo atd) zjis­tit, jak jsou na tom ostat­ní 😉 Ale abychom tuhle ptá­ko­vi­nu z EU dodr­žo­va­li, to bychom se nedo­zvě­dě­li taky nic, tak­že tak 😉
</​zpruzené kecy o EU>

Hez­ký den všem 😉

Upda­te: Z hod­no­ce­ných jsem spo­če­tl prů­měr cca 4,86, čili všich­ni s body 5 a více byli nad­prů­měr­ní 🙂 🙂

KMT/​MMM1 — Metody matematického modelování 1

Meto­dy mate­ma­tic­ké­ho mode­lo­vá­ní vypa­da­jí na poměr­ně zají­ma­vý před­mět — co se tedy ael­spoň pro obor mate­ma­ti­ka týče. Berou se napros­té zákla­dy, což vel­mi pří­jem­né pro lidi, kte­ří už mate­ma­ti­ku „v suro­vé for­mě“ tak­to poza­po­mně­li a rádi si obsah zopa­ku­jí.

Co se mé oso­by týče, ved­lej­ší „sloup“ (pros­tě dru­hý obor, kte­rý se stu­du­je para­lel­ně s prním) bych si mate­ma­ti­ku nevy­bral — ale urči­tě ne kvů­li tomu­to před­mě­tu, spí­še pro­to, že k mate­ma­ti­ce mám troš­ku ambi­va­lent­ní vztah a nejsem si jist, že bych ji „jako kama­rád­ku“ sne­sl déle, než pár hodin.

Napros­to ale sou­hla­sím a pod­po­ru­ji nut­nost její výu­ky a její­ho pocho­pe­ní stu­den­ty — jak matu­rit­ních obo­rů, tak i dal­ších byť i netech­nic­kých obo­rů na VŠ. Stej­ně i jako inže­nýr musí dob­ře umět češ­ti­nu a měl by mít jakýs-takýs vše­o­bec­ný pře­hled o svě­tě, by i stu­dent tře­ba poli­to­lo­gie měl umět zákla­dy mate­ma­ti­ky. Jas­ně, že nemu­sí umět deri­vo­vat (i když někte­ré poli­ti­ky by to zde­ri­vo­vat chtě­lo 🙂 ), ale krá­tit zlom­ky a umět základ­ní zběh­lost­ní úlo­hy, to by měl umět oprav­du kaž­dý, kdo má matu­ri­tu. A ten­to před­mět vypa­dá, že bude pro tako­vou prů­pra­vu více než vhod­ný.

Mate­ri­á­ly budou (ske­ny z před­ná­šek a cvi­če­ní od vyu­ču­jí­cích) na CW, nicmé­ně až si poří­dím ske­ner, někte­ré výpo­čty sem (nej­spí­še) tak­též dám, pokud uvá­žím, že je to dosta­teč­ně čitel­né.