Archiv pro rubriku: KGE/MG

Matematická geografie

KGE/MG -- Kde vychází a zapadá Slunce?

Dalším podobným příkladem, jako zjištění kdy zapadá Slunce, je zjištění místa (tedy azimutu) Slunce, které akorát vyjde.

Vyjdeme z velmi podobných podmínek, jako minule -- výška Slunce nad obzorem při východu je opět 0°, čímž se nám výpočet velmi zjednoduší. Azimut je úhel, který svírá přímka vedena pozorovatelem a místem věci, kterou pozorujeme s rovinou pozorovatele a jižního bodu (azimut 0°).  Pokud Slunce zapadá, bude mít kladný azimut, pokud vychází, buď záporný anebo "okolo" kolem 270°.

Ze sférického trojúhelníku však neznáme (pokud známe lokaci pozorovatele a deklinaci) některé souřadnice a museli bychom si je vypočítat (např. pomocí výpočtů z minula) => musí existovat jednodušší cesta. Azimut jako takový ve sférickém trojúhelníku není, ale je zde doplněk k tomuto úhlu, nazvěme ho omega. A hledáme-li omegu, už počítat můžeme.

Využijeme tedy znovu věty o straně, tentokrát o straně p, kde ze známých hodnot:

p = 90-\delta
z=90
90-\phi

Vypočteme:

\cos p = \cos z \cos (90-\phi) + \sin z \sin (90-\phi) \cos \omega

Snadno si zjednodušíme život tím, že první člen víme, že bude nulový (cos 90 ° je nula), čili nám zbyde pouze druhá část:

\cos p = \sin z \sin (90-\phi) \cos \omega

A z toho už omegu vyjádříme velmi snadno:

\omega = \arccos \frac{\cos p}{\sin z \sin (90-\phi)}

A nesmíme zapomenout omegu odečíst od 180 ° (omega je pouze doplňkový úhel!) 😉 Azimut je na světě 😉

KGE/MG -- Výpočet světlé délky dne a kdy vyjde a zapadne slunce

Jak bylo slíbeno, na cvičení jsme počítali délku světlého dne, poté čas východu a západu Slunce. Pojďme na to 🙂

Výpočet světlé délky dne

Co je to vlastně "světlá délka dne"? Logicky to je vlastně doba, kdy je nad obzorem vidět Slunce. Vyjdeme tak z kosinovy věty o straně a namísto úhlu (výšky nad obzorem) dosadíme "nulu" -- čímž se nám výraz značně zjednoduší a získáme tím krásě potřebnou dobu.

Budeme tedy počítat hodinový úhel t a vyjádříme si jeho dvojnásobek (pokud je doba t čas od kulminace k západu a současně čas od východu ke kulminaci...)

První předpoklad tedy je, že světlá doba dne se vypočte jako:

T=2t

kde t je hodinový úhel a T je právě světlá doba dne. Teď už nám tedy stačí spočítat (pro dané zeměpisné souřadnice) právě hodinový úhel při západu (či východu) slunce.

Vyjděme ze základních souřadnic:

Zeměpisná šířka: 50° (tedy Praha)
Deklinace daný den: -8°

Nejprve tedy spočteme zenitovou vzdálenost (vzdálenost od zenitu):

z=90^\circ-h=90^\circ

To je prosté, protože v době západu či východu je prostě úhel 90 stupňů 🙂 Podle kosínové věty pro sférický trojúhelník opět můžeme určit, že:

\cos z = \cos p \cos (90-\phi) + \sin p \sin (90-\phi) \cos t

čili jsme schopni vyjádřit:

\cos t = - \frac{\cos p \cos (90-\phi)}{\sin p \sin (90-\phi)}

Proč tak jednoduše? Pokud víme, že měříme dobu do západu slunce (či od východu) k poledni, tíme, že kosínus 90 je nula. Čili se nám to krásně zjednoduší.

Po dosazení hodnot jednoduše tedy t = 80°27', čili 5 hodin, 21 minut a 48 sekund. Délka světlého dne je tedy 10 hodin, 43 minut a 36 sekund.

KGE/MG -- Astronomické souřadnice

V dnešní přednášce z KGE/MG se to jen hemžilo novými pojmy, proměnnými a výrazy, takže dokud to mám v hlavě...

Základní pojmy

  • Nebeská sféra: Jedná se o kulovou plochu nebo někdy jen polokouli,  v jejímž středu stojí pozorovatel (nacházející se na povrchu Země) dívající se na noční oblohu a do které se promítá pohyb všech viditelný těles vesmíru.
  • Rovina ekliptiky: Ekliptika je průsečnice, v níž rovina dráhy Země kolem Slunce protíná nebeskou sféru. Rovina ekliptiky je tedy rovina touto kružnicí proložená.
  • Světový severní a jižný pól: Jedná se o body, které leží na protažené zemské ose a nebeské sféře (v bodě průsečíku).
  • Světový rovník: Jedná se o průsečík roviny zemského rovníku s nebeskou sférou.
  • Místní poledník: Spojnice severního a jižního zemského pólu, která prochází pozorovatelem.
  • Obzorník: Jedná se vlastně o horizont, tedy průsečík s nebeskou sférou, který nám rozděluje pohled (pozorovateli tedy) na dvě části; jednu, kterou vidí a druhou, kterou nevidí (zákryvem Země).  Obzorník nám definuje ještě další body -- severní, jižní, západní a východní body obzoru, což jsou body, které leží v průsečíku nebeské sféry, obzorníku a roviny místního poledníku.  Tedy v místě, kde se pozorovateli jeví sever, tak promítneme-li ho na nebeskou sféru, tam je severní bod obzoru atd.
  • Zenit, nadir: Nadhlavník (a podhlavník) je místo přímo nad (či pod) hlavou pozorovatele, tedy průsečík přímky kolmo k rovině obzorníku a pozorovatele. Nadir nikdy nevidíme, protože je pořád zakrytý Zemí.
  • Meridián: Průsečík roviny místního poledníku a nebeské sféry.
  • Jarní a podzimní bod: Místa, kam se Slunce promítne, když nastává astronomické jaro (či podzim). Alternativně též průsečík roviny ekliptiky a světového rovníku.
  • Jižní (severní) bod světového rovníku: Bod v průsečíku roviny světového rovníku a nebeské sféry.
Pojmy, astronomické souřadnice, zdroj: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Nebeska_sfera_pozorovatel.cs.svg
Pojmy a astronomické souřadnice.
Zdroj obrázku: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Nebeska_sfera_pozorovatel.cs.svg

Po drobném "nálevu" různých termínů se pusťme do dalších -- tentokrát různých souřadnic. Začnněme těmi, na které má vliv poloha pozorovatele:

Součadnice s vlivem pozorovatele

  • Výška (h): Jedná se o úhel, který svírá v rovině vytknuté pozorovatelem, daným objektem (např. hvězdou) a obzorníkem (kolmicí na něho). Je to tedy "výška nad obzorem".
  • Azimut (A): Azimut je úhel, který počítáme od 0° do 360° ve směru hodinových ručiček od roviny místního poledníku směrem na Jih. Tedy v pravé poledne (zjednodušeně) máme azimut slunce 0 °.

Souřadnice bez vlivu polohy pozorovatele

  •  Deklinace: Deklinace je úhlová vzdálenost tělesa severně nebo jižně od světového rovníku. Je kladná směrem k severnímu světovému pólu a záporná k jižnímu světovému pólu. Deklinace je tedy vlastně podobná "výšce" z předchozí části textu. Všechna tělesa mají stejnou deklinaci, až na Slunce, které je výjimkou (z důvodu zemského oběhu kolem něho), deklinace Slunce se tedy mění od -23,5°--23,5°.
  • Pólová vzdálenost: Doplněk do 90 ° od deklinace, podobně jako jsme používali pólovou vzdálenost od severního pólu v příspěvku o výpočtech na kouli.
  • Rektascenze: Jedná se o úhel (značen alfa) udávaný v hodinách, který svírá rovina procházející světovými póly a nebeským tělesem s rovinou procházející světovými póly a jarním bodem.
  • Hodinový úhel: Úhel (v hodinách opět) od jižního rovníkového bodu k rovině objektu. Pro Slunce počítáme jako dobu od kulminace (od nejvyššího bodu během dne).

Nautický trojúhelník

Nyní trochu teoreticky k výpočtům. Stejně jako na kouli používáme sférický trojúhelník, i zde používáme sférický trojúhelník, který je zobrazen na kulové ploše nebeské sféry. Tento trojúhelník je veden mezi severním světovým pólem, zenitem a pozorovaným objektem.

Vzdálenost mezi objektem a světovým severním pólem značíme jako pólová vzdálenost (jedná se o tutéž pólovou vzdálenost, o které píšu výše), vzdálenost mezi zenitem a objektem jako zenitová vzdálenost.

Po pondělním cvičení sepíšu i něco o výpočtech v tomto trojúhelníku.

KGE/MG -- Další výpočty na kouli

Na dalším cvičení jsme dělali (resp. pokračovali) s dalšími výpočty na kouli (referenční kouli nahrazující Zemi).

Výpočty vzdáleností dvou bodů, pokud známe jejich zeměpisné souřadnice

Můžeme rozdělit na takové základní 3 případy:

  1. Body se nachází na stejné rovnoběžce
  2. Body se nachází na stejném poledníku
  3. Body se nachází obecně

Budeme dále počítat, že pokud se body nachází např. na stejné rovnoběžce, bude i vzdálenost těchto bodů vedena po rovnoběžce, tedy ne nejkratší vzdáleností. Totéž platí i o poledníku. V případě výpočtů s obecnými body protneme body hlavní kružnici a tím docílíme výpočtu po nejkratší trase. Zpětně pak zkusíme vypočítat stejný příklad a porovnat rozdíly.

Výpočet vzdáleností po rovnoběžce

 Pro výpočet vzdálenosti po rovnoběčce platí vztah:

x=\mathrm{R}\cos{\phi}\mathrm{arc} \Delta\lambda

Počítáme-li tedy např. s Prahou (na 50. rovnoběžce, 14° vých. délky) a pobřežím v USA (resp. už Kanady) s délkou -56 °, potom dostaneme:

x=\mathrm{6371}\cos{50}\mathrm{arc} (14+56)=5003 \, \mathrm{km}

Výpočet vzdáleností po poledníku

Zde je situace mnohem jednodušší, protože poledníky jsou všechny stejně dlouhé a počítáme pouze část kružnice.

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arc}\Delta\phi

Tedy např. pro Prahu a bod, který se nachází na rovníku platí:

x=\mathrm{6371}\cdot\mathrm{arc}50=5560\,\mathrm{km}

Výpočet vzdáleností dvou obecných bodů

Jak jsem uvedl v úvodu, je potřeba těmito body protnout hlavní kružnici, po které jsou vzdálenosti nejkratší.  Využijeme kosínovy věty o straně na sférickém trojúhelníku mezi těmito dvěma body a severním pólem.

\cos{v}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\cos{\gamma}

kde gamma odpovídá rozdílu délek. Za a a b dosadíme "úhlová vzdálenost od pólu". To je vzdálenost (ve stupních) od pólu. Např. 50. rovnoběžka je 90-50, tedy 40 stupňů. např. pro náš výpočet, který jsme provedli pro vzdálenost Prahy a pobřeží kanady platí:

V=\cos{v}=\cos{40}\cos{40}+\sin{40}\sin{40}\cos{(14+56)}=0.728138

To nám však k ničemu moc nepomůže, máme akorát kosínus daného čísla -- vynásobíme proto R a převedeme na úhel (tedy arcosinus) a vyjde nám:

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arcos}\mathrm{V}=4811\,\mathrm{km}

Jak vidíme, rozdíl je téměř 200 km! Této nejkratší cestě říkáme "po ortodromě", kde ortodroma je nejkratší vzdálenost po kouli mezi dvěma body.

V nedaleké budoucnosti sem na web hodím ještě odkaz na jednoduchý výpočtový skript, který tyto věci počítá (např. pro kontrolu, když se učíte na test).

Edit: Nedaleká budoucnost nastala, tady je skript na výpočet, snad funguje dobře a spolehlivě 😉 Zdrojový kód si můžete stáhnout z tohoto odkazu, soubor coordinates.zip. Na výpočet můžete přímo odkázat jako na adresu, takže můžete své výpočty klidně sdílet 😉 😉

KGE/MG -- 1. cvičení -- výpočty na kouli

Dnes proběhlo první cvičení (resp. seminář) z předmětu KGE/MG, matematická geografie. Cílem cvičení bylo představit a odvodit 4 základní vzorce pro výpočty na kouli.

Proměnné, které se budou hodit:

Než začneme,  určitě nebude od věci říci, že výpočty provádíme na referenční kouli (nikoliv geoidu, to bychom se zbláznili 🙂 ) a pak se hodí také představit proměnné, které se budeme používat:

  • \phi: úhel (ve stupních) zeměpisné šířky. Např. Praha je kolem 50. stupně.
  • \mathrm{R}: poloměr Země (6371 km)
  • \lambda: úhel (ve stupních) zeměpisné délky.

Výpočet délky rovnoběžky (či její části)

Rovnoběžky jsou obyčejné kruhy, jejichž poloměr je různý se zeměpisnou šířkou. Z toho se musí i vycházet. Nejdelší rovnoběžkou je rovník, nultý stupeň. Limitně nejkratší je pól, kde délka limitně dosahuje délky 0. Vzorec pro výpočet délky:

d_{r \phi} =\mathrm{R}\cos\phi\mathrm{arc}(\Delta\lambda)

Při výpočtu si dejte bacha na sčítání a odečítání souřadnic (resp. úhlů), protože jasné, že pokud mám 20 a -10, bude rozdíl 30 stupňů a ne 10 😉 😉

Výpočet délky poledníku

Poledník je klasická půlkružnice, která má na referenční kouli stejnou délku jako půl rovníku. Výpočet délky je tedy velmi podobný, obecně tedy:

d = \mathrm{R}\cos{0} \mathrm{arc}180 = \pi\mathrm{R}

Plocha zeměpisné sítě

Plochou zeměpisné sítě rozumíme výseč ohraničená dvěmi rovnoběžkami a dvěma poledníky.  Tedy:

S = R^2\mathrm{arc}(\Delta\phi)(\sin\phi_1-\sin\phi_2)

Výpočet viditelného horizontu

Jednoduše se jedná (jak je z názvu jasné) o výpočet plochy, kterou je schopen pozorovatel vidět z určité výšky nad koulí.

S=\pi d^2

S=2\pi\mathrm{R}h

a můžeme tedy v klidu tvrdit, že

\pi d^2 = 2\pi\mathrm{R}h

a tohoto (a těchto obecně) vztahů použít pro výpočet plochy, vzdálenosti vidění atd.

KGE/MG -- Matematická geografie

Předmět Matematická geografie má sjednotit znalosti ze středních a základních škol pro pozdější prohloubení studia v případě oboru geografie.

Jelikož jsem v zeměpisu (či geografii) poměrně nekovaný (naposledy jsem něco tohoto názvu měl na ZŠ a tam jsme na slepých mapách kreslili, kudy teče Dunaj (ano, tedy předmět naprosto k ničemu...)), měl jsem zprvu poměrně strach, jak se budu v tomto předmětu orientovat. Jak příjemné bylo moje zjištění, že se nemusím (asi) ničeho bát, jedná se vlastně o propojení matematiky a geografie (jak by jeden z názvu předmětu určitě neřekl :-))

Co to však znamená; podle sylabu se bude často počítat s různými věcmi na kulových souřadnicích, budeme se učit odpovědi třeba na otázku "10. června v 11 hodin dopoledne roku 2013 dopadalo slunce na Staroměstské náměstí pod jakým úhlem" a podobně -- čili se těším. Asi i zabrousíme do oblasti GPS, o těch lecos vím, takže si rád rozšířím (či zopakuji) znalosti.

Vypadá to prostě na fajn a zajímavý předmět, takže se opravdu těším. Jen by nemuselo v místnosti pro 160 lidí být zapsáno 210 lidí, abychom nemuseli sedět na schodech, v oknech, na klínech a tak podobně. Nicméně (jak už to tak bývá) během pár dní očekávám, že se návštěvnost "zpolovičatí", takže se v klidu vejdeme. Ale je to škoda, je to opravdu (alespoň zatím) zajímavý předmět.