Archiv rubriky: KGE/MG

Mate­ma­tic­ká geo­gra­fie

KGE/​MG — Kde vychází a zapadá Slunce?

Dal­ším podob­ným pří­kla­dem, jako zjiš­tě­ní kdy zapa­dá Slun­ce, je zjiš­tě­ní mís­ta (tedy azi­mu­tu) Slun­ce, kte­ré ako­rát vyjde.

Vyjde­me z vel­mi podob­ných pod­mí­nek, jako minu­le — výš­ka Slun­ce nad obzo­rem při výcho­du je opět 0°, čímž se nám výpo­čet vel­mi zjed­no­du­ší. Azi­mut je úhel, kte­rý sví­rá přím­ka vede­na pozo­ro­va­te­lem a mís­tem věci, kte­rou pozo­ru­je­me s rovi­nou pozo­ro­va­te­le a již­ní­ho bodu (azi­mut 0°). Pokud Slun­ce zapa­dá, bude mít klad­ný azi­mut, pokud vychá­zí, buď zápor­ný ane­bo „oko­lo“ kolem 270°.

Ze sfé­ric­ké­ho troj­ú­hel­ní­ku však nezná­me (pokud zná­me loka­ci pozo­ro­va­te­le a dekli­na­ci) někte­ré sou­řad­ni­ce a muse­li bychom si je vypo­čí­tat (např. pomo­cí výpo­čtů z minu­la) => musí exis­to­vat jed­no­duš­ší ces­ta. Azi­mut jako tako­vý ve sfé­ric­kém troj­ú­hel­ní­ku není, ale je zde dopl­něk k tomu­to úhlu, nazvě­me ho ome­ga. A hle­dá­me-li ome­gu, už počí­tat může­me.

Vyu­ži­je­me tedy zno­vu věty o stra­ně, ten­to­krát o stra­ně p, kde ze zná­mých hod­not:

p = 90-\delta
z=90
90-\phi

Vypoč­te­me:

\cos p = \cos z \cos (90-\phi) + \sin z \sin (90-\phi) \cos \omega

Snad­no si zjed­no­du­ší­me život tím, že prv­ní člen víme, že bude nulo­vý (cos 90 ° je nula), čili nám zby­de pou­ze dru­há část:

\cos p = \sin z \sin (90-\phi) \cos \omega

A z toho už ome­gu vyjá­d­ří­me vel­mi snad­no:

\omega = \arccos \frac{\cos p}{\sin z \sin (90-\phi)}

A nesmí­me zapo­me­nout ome­gu ode­číst od 180 ° (ome­ga je pou­ze doplň­ko­vý úhel!) 😉 Azi­mut je na svě­tě 😉

KGE/​MG — Výpočet světlé délky dne a kdy vyjde a zapadne slunce

Jak bylo slí­be­no, na cvi­če­ní jsme počí­ta­li dél­ku svět­lé­ho dne, poté čas výcho­du a zápa­du Slun­ce. Pojď­me na to 🙂

Výpočet světlé délky dne

Co je to vlast­ně „svět­lá dél­ka dne“? Logic­ky to je vlast­ně doba, kdy je nad obzo­rem vidět Slun­ce. Vyjde­me tak z kosi­no­vy věty o stra­ně a namís­to úhlu (výš­ky nad obzo­rem) dosa­dí­me „nulu“ — čímž se nám výraz znač­ně zjed­no­du­ší a zís­ká­me tím krá­sě potřeb­nou dobu.

Bude­me tedy počí­tat hodi­no­vý úhel t a vyjá­d­ří­me si jeho dvoj­ná­so­bek (pokud je doba t čas od kul­mi­na­ce k zápa­du a sou­čas­ně čas od výcho­du ke kul­mi­na­ci…)

Prv­ní před­po­klad tedy je, že svět­lá doba dne se vypoč­te jako:

T=2t

kde t je hodi­no­vý úhel a T je prá­vě svět­lá doba dne. Teď už nám tedy sta­čí spo­čí­tat (pro dané země­pis­né sou­řad­ni­ce) prá­vě hodi­no­vý úhel při zápa­du (či výcho­du) slun­ce.

Vyjdě­me ze základ­ních sou­řad­nic:

Země­pis­ná šíř­ka: 50° (tedy Pra­ha)
Dekli­na­ce daný den: ‑8°

Nej­pr­ve tedy spoč­te­me zeni­to­vou vzdá­le­nost (vzdá­le­nost od zeni­tu):

z=90^\circ-h=90^\circ

To je pros­té, pro­to­že v době zápa­du či výcho­du je pros­tě úhel 90 stup­ňů 🙂 Pod­le kosí­no­vé věty pro sfé­ric­ký troj­ú­hel­ník opět může­me určit, že:

\cos z = \cos p \cos (90-\phi) + \sin p \sin (90-\phi) \cos t

čili jsme schop­ni vyjá­d­řit:

\cos t = - \frac{\cos p \cos (90-\phi)}{\sin p \sin (90-\phi)}

Proč tak jed­no­du­še? Pokud víme, že měří­me dobu do zápa­du slun­ce (či od výcho­du) k poled­ni, tíme, že kosí­nus 90 je nula. Čili se nám to krás­ně zjed­no­du­ší.

Po dosa­ze­ní hod­not jed­no­du­še tedy t = 80°27, čili 5 hodin, 21 minut a 48 sekund. Dél­ka svět­lé­ho dne je tedy 10 hodin, 43 minut a 36 sekund.

KGE/​MG — Astronomické souřadnice

V dneš­ní před­náš­ce z KGE/​MG se to jen hem­ži­lo nový­mi pojmy, pro­měn­ný­mi a výra­zy, tak­že dokud to mám v hla­vě…

Základní pojmy

  • Nebeská sfé­ra: Jed­ná se o kulo­vou plo­chu nebo někdy jen polo­kou­li, v jejímž stře­du sto­jí pozo­ro­va­tel (nachá­ze­jí­cí se na povrchu Země) díva­jí­cí se na noč­ní oblo­hu a do kte­ré se pro­mí­tá pohyb všech vidi­tel­ný těles vesmí­ru.
  • Rovi­na eklip­ti­ky: Eklip­ti­ka je prů­seč­ni­ce, v níž rovi­na dráhy Země kolem Slun­ce pro­tí­ná nebeskou sfé­ru. Rovi­na eklip­ti­ky je tedy rovi­na tou­to kruž­ni­cí pro­lo­že­ná.
  • Svě­to­vý sever­ní a již­ný pól: Jed­ná se o body, kte­ré leží na pro­ta­že­né zem­ské ose a nebes­ké sfé­ře (v bodě prů­se­čí­ku).
  • Svě­to­vý rov­ník: Jed­ná se o prů­se­čík rovi­ny zem­ské­ho rov­ní­ku s nebeskou sfé­rou.
  • Míst­ní poled­ník: Spoj­ni­ce sever­ní­ho a již­ní­ho zem­ské­ho pólu, kte­rá pro­chá­zí pozo­ro­va­te­lem.
  • Obzor­ník: Jed­ná se vlast­ně o hori­zont, tedy prů­se­čík s nebeskou sfé­rou, kte­rý nám roz­dě­lu­je pohled (pozo­ro­va­te­li tedy) na dvě čás­ti; jed­nu, kte­rou vidí a dru­hou, kte­rou nevi­dí (zákry­vem Země). Obzor­ník nám defi­nu­je ješ­tě dal­ší body — sever­ní, již­ní, západ­ní a východ­ní body obzo­ru, což jsou body, kte­ré leží v prů­se­čí­ku nebes­ké sfé­ry, obzor­ní­ku a rovi­ny míst­ní­ho poled­ní­ku. Tedy v mís­tě, kde se pozo­ro­va­te­li jeví sever, tak pro­mít­ne­me-li ho na nebeskou sfé­ru, tam je sever­ní bod obzo­ru atd.
  • Zenit, nadir: Nad­hlav­ník (a pod­hlav­ník) je mís­to pří­mo nad (či pod) hla­vou pozo­ro­va­te­le, tedy prů­se­čík přím­ky kol­mo k rovi­ně obzor­ní­ku a pozo­ro­va­te­le. Nadir nikdy nevi­dí­me, pro­to­že je pořád zakry­tý Zemí.
  • Meri­di­án: Prů­se­čík rovi­ny míst­ní­ho poled­ní­ku a nebes­ké sfé­ry.
  • Jar­ní a pod­zim­ní bod: Mís­ta, kam se Slun­ce pro­mít­ne, když nastá­vá ast­ro­no­mic­ké jaro (či pod­zim). Alter­na­tiv­ně též prů­se­čík rovi­ny eklip­ti­ky a svě­to­vé­ho rov­ní­ku.
  • Již­ní (sever­ní) bod svě­to­vé­ho rov­ní­ku: Bod v prů­se­čí­ku rovi­ny svě­to­vé­ho rov­ní­ku a nebes­ké sfé­ry.
Pojmy, astronomické souřadnice, zdroj: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Nebeska_sfera_pozorovatel.cs.svg
Pojmy a ast­ro­no­mic­ké sou­řad­ni­ce.
Zdroj obráz­ku: http://​uplo​ad​.wiki​me​dia​.org/​w​i​k​i​p​e​d​i​a​/​c​o​m​m​o​n​s​/​f​/​f​1​/​N​e​b​e​s​k​a​_​s​f​e​r​a​_​p​o​z​o​r​o​v​a​t​e​l​.​c​s​.​svg

Po drob­ném „nále­vu“ růz­ných ter­mí­nů se pusť­me do dal­ších — ten­to­krát růz­ných sou­řad­nic. Začn­ně­me těmi, na kte­ré má vliv polo­ha pozo­ro­va­te­le:

Součadnice s vlivem pozorovatele

  • Výš­ka (h): Jed­ná se o úhel, kte­rý sví­rá v rovi­ně vytknu­té pozo­ro­va­te­lem, daným objek­tem (např. hvězdou) a obzor­ní­kem (kol­mi­cí na něho). Je to tedy „výš­ka nad obzo­rem“.
  • Azi­mut (A): Azi­mut je úhel, kte­rý počí­tá­me od 0° do 360° ve smě­ru hodi­no­vých ruči­ček od rovi­ny míst­ní­ho poled­ní­ku smě­rem na Jih. Tedy v pra­vé poled­ne (zjed­no­du­še­ně) máme azi­mut slun­ce 0 °.

Souřadnice bez vlivu polohy pozorovatele

  • Dekli­na­ce: Dekli­na­ce je úhlo­vá vzdá­le­nost těle­sa sever­ně nebo již­ně od svě­to­vé­ho rov­ní­ku. Je klad­ná smě­rem k sever­ní­mu svě­to­vé­mu pólu a zápor­ná k již­ní­mu svě­to­vé­mu pólu. Dekli­na­ce je tedy vlast­ně podob­ná „výš­ce“ z před­cho­zí čás­ti tex­tu. Všech­na těle­sa mají stej­nou dekli­na­ci, až na Slun­ce, kte­ré je výjim­kou (z důvo­du zem­ské­ho obě­hu kolem něho), dekli­na­ce Slun­ce se tedy mění od ‑23,5°–23,5°.
  • Pólo­vá vzdá­le­nost: Dopl­něk do 90 ° od dekli­na­ce, podob­ně jako jsme pou­ží­va­li pólo­vou vzdá­le­nost od sever­ní­ho pólu v pří­spěv­ku o výpo­čtech na kou­li.
  • Rek­tascen­ze: Jed­ná se o úhel (zna­čen alfa) udá­va­ný v hodi­nách, kte­rý sví­rá rovi­na pro­chá­ze­jí­cí svě­to­vý­mi póly a nebeským těle­sem s rovi­nou pro­chá­ze­jí­cí svě­to­vý­mi póly a jar­ním bodem.
  • Hodi­no­vý úhel: Úhel (v hodi­nách opět) od již­ní­ho rov­ní­ko­vé­ho bodu k rovi­ně objek­tu. Pro Slun­ce počí­tá­me jako dobu od kul­mi­na­ce (od nej­vyš­ší­ho bodu během dne).

Nautický trojúhelník

Nyní tro­chu teo­re­tic­ky k výpo­čtům. Stej­ně jako na kou­li pou­ží­vá­me sfé­ric­ký troj­ú­hel­ník, i zde pou­ží­vá­me sfé­ric­ký troj­ú­hel­ník, kte­rý je zob­ra­zen na kulo­vé plo­še nebes­ké sfé­ry. Ten­to troj­ú­hel­ník je veden mezi sever­ním svě­to­vým pólem, zeni­tem a pozo­ro­va­ným objek­tem.

Vzdá­le­nost mezi objek­tem a svě­to­vým sever­ním pólem zna­čí­me jako pólo­vá vzdá­le­nost (jed­ná se o tutéž pólo­vou vzdá­le­nost, o kte­ré píšu výše), vzdá­le­nost mezi zeni­tem a objek­tem jako zeni­to­vá vzdá­le­nost.

Po pon­děl­ním cvi­če­ní sepíšu i něco o výpo­čtech v tom­to troj­ú­hel­ní­ku.

KGE/​MG — Další výpočty na kouli

Na dal­ším cvi­če­ní jsme děla­li (resp. pokra­čo­va­li) s dal­ší­mi výpo­čty na kou­li (refe­renč­ní kou­li nahra­zu­jí­cí Zemi).

Výpočty vzdáleností dvou bodů, pokud známe jejich zeměpisné souřadnice

Může­me roz­dě­lit na tako­vé základ­ní 3 pří­pa­dy:

  1. Body se nachá­zí na stej­né rov­no­běž­ce
  2. Body se nachá­zí na stej­ném poled­ní­ku
  3. Body se nachá­zí obec­ně

Bude­me dále počí­tat, že pokud se body nachá­zí např. na stej­né rov­no­běž­ce, bude i vzdá­le­nost těch­to bodů vede­na po rov­no­běž­ce, tedy ne nej­krat­ší vzdá­le­nos­tí. Totéž pla­tí i o poled­ní­ku. V pří­pa­dě výpo­čtů s obec­ný­mi body pro­tne­me body hlav­ní kruž­ni­ci a tím docí­lí­me výpo­čtu po nej­krat­ší tra­se. Zpět­ně pak zku­sí­me vypo­čí­tat stej­ný pří­klad a porov­nat roz­dí­ly.

Výpočet vzdáleností po rovnoběžce

Pro výpo­čet vzdá­le­nos­ti po rov­no­běč­ce pla­tí vztah:

x=\mathrm{R}\cos{\phi}\mathrm{arc} \Delta\lambda

Počí­tá­me-li tedy např. s Pra­hou (na 50. rov­no­běž­ce, 14° vých. dél­ky) a pobře­žím v USA (resp. už Kana­dy) s dél­kou ‑56 °, potom dosta­ne­me:

x=\mathrm{6371}\cos{50}\mathrm{arc} (14+56)=5003 \, \mathrm{km}

Výpočet vzdáleností po poledníku

Zde je situ­a­ce mno­hem jed­no­duš­ší, pro­to­že poled­ní­ky jsou všech­ny stej­ně dlou­hé a počí­tá­me pou­ze část kruž­ni­ce.

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arc}\Delta\phi

Tedy např. pro Pra­hu a bod, kte­rý se nachá­zí na rov­ní­ku pla­tí:

x=\mathrm{6371}\cdot\mathrm{arc}50=5560\,\mathrm{km}

Výpočet vzdáleností dvou obecných bodů

Jak jsem uve­dl v úvo­du, je potře­ba těmi­to body pro­tnout hlav­ní kruž­ni­ci, po kte­ré jsou vzdá­le­nos­ti nej­krat­ší. Vyu­ži­je­me kosí­no­vy věty o stra­ně na sfé­ric­kém troj­ú­hel­ní­ku mezi těmi­to dvě­ma body a sever­ním pólem.

\cos{v}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\cos{\gamma}

kde gam­ma odpo­ví­dá roz­dí­lu délek. Za a a b dosa­dí­me úhlo­vá vzdá­le­nost od pólu“. To je vzdá­le­nost (ve stup­ních) od pólu. Např. 50. rov­no­běž­ka je 9050, tedy 40 stup­ňů. např. pro náš výpo­čet, kte­rý jsme pro­ved­li pro vzdá­le­nost Pra­hy a pobře­ží kana­dy pla­tí:

V=\cos{v}=\cos{40}\cos{40}+\sin{40}\sin{40}\cos{(14+56)}=0.728138

To nám však k niče­mu moc nepo­mů­že, máme ako­rát kosí­nus dané­ho čís­la — vyná­so­bí­me pro­to R a pře­ve­de­me na úhel (tedy arco­si­nus) a vyjde nám:

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arcos}\mathrm{V}=4811\,\mathrm{km}

Jak vidí­me, roz­díl je téměř 200 km! Této nej­krat­ší ces­tě říká­me „po orto­dro­mě“, kde orto­dro­ma je nej­krat­ší vzdá­le­nost po kou­li mezi dvě­ma body.

V neda­le­ké budouc­nos­ti sem na web hodím ješ­tě odkaz na jed­no­du­chý výpo­čto­vý skript, kte­rý tyto věci počí­tá (např. pro kon­t­ro­lu, když se učí­te na test).

Edit: Neda­le­ká budouc­nost nasta­la, tady je skript na výpo­čet, snad fun­gu­je dob­ře a spo­leh­li­vě 😉 Zdro­jo­vý kód si může­te stáh­nout z toho­to odka­zu, sou­bor coor​di​na​tes​.zip. Na výpo­čet může­te pří­mo odká­zat jako na adre­su, tak­že může­te své výpo­čty klid­ně sdí­let 😉 😉

KGE/​MG — 1. cvičení — výpočty na kouli

Dnes pro­běh­lo prv­ní cvi­če­ní (resp. semi­nář) z před­mě­tu KGE/​MG, mate­ma­tic­ká geo­gra­fie. Cílem cvi­če­ní bylo před­sta­vit a odvo­dit 4 základ­ní vzor­ce pro výpo­čty na kou­li.

Proměnné, které se budou hodit:

Než začne­me, urči­tě nebu­de od věci říci, že výpo­čty pro­vá­dí­me na refe­renč­ní kou­li (niko­liv geo­i­du, to bychom se zbláz­ni­li 🙂 ) a pak se hodí také před­sta­vit pro­měn­né, kte­ré se bude­me pou­ží­vat:

  • \phi: úhel (ve stup­ních) země­pis­né šíř­ky. Např. Pra­ha je kolem 50. stup­ně.
  • \mathrm{R}: polo­měr Země (6371 km)
  • \lambda: úhel (ve stup­ních) země­pis­né dél­ky.

Výpočet délky rovnoběžky (či její části)

Rov­no­běž­ky jsou oby­čej­né kru­hy, jejichž polo­měr je růz­ný se země­pis­nou šíř­kou. Z toho se musí i vychá­zet. Nejdel­ší rov­no­běž­kou je rov­ník, nul­tý stu­peň. Limit­ně nej­krat­ší je pól, kde dél­ka limit­ně dosa­hu­je dél­ky 0. Vzo­rec pro výpo­čet dél­ky:

d_{r \phi} =\mathrm{R}\cos\phi\mathrm{arc}(\Delta\lambda)

Při výpo­čtu si dej­te bacha na sčí­tá­ní a ode­čí­tá­ní sou­řad­nic (resp. úhlů), pro­to­že jas­né, že pokud mám 20 a ‑10, bude roz­díl 30 stup­ňů a ne 10 😉 😉

Výpočet délky poledníku

Poled­ník je kla­sic­ká půl­kruž­ni­ce, kte­rá má na refe­renč­ní kou­li stej­nou dél­ku jako půl rov­ní­ku. Výpo­čet dél­ky je tedy vel­mi podob­ný, obec­ně tedy:

d = \mathrm{R}\cos{0} \mathrm{arc}180 = \pi\mathrm{R}

Plocha zeměpisné sítě

Plo­chou země­pis­né sítě rozu­mí­me výseč ohra­ni­če­ná dvě­mi rov­no­běž­ka­mi a dvě­ma poled­ní­ky. Tedy:

S = R^2\mathrm{arc}(\Delta\phi)(\sin\phi_1-\sin\phi_2)

Výpočet viditelného horizontu

Jed­no­du­še se jed­ná (jak je z názvu jas­né) o výpo­čet plo­chy, kte­rou je scho­pen pozo­ro­va­tel vidět z urči­té výš­ky nad kou­lí.

S=\pi d^2

S=2\pi\mathrm{R}h

a může­me tedy v kli­du tvr­dit, že

\pi d^2 = 2\pi\mathrm{R}h

a toho­to (a těch­to obec­ně) vzta­hů pou­žít pro výpo­čet plo­chy, vzdá­le­nos­ti vidě­ní atd.

KGE/​MG — Matematická geografie

Před­mět Mate­ma­tic­ká geo­gra­fie má sjed­no­tit zna­los­ti ze střed­ních a základ­ních škol pro poz­děj­ší pro­hlou­be­ní stu­dia v pří­pa­dě obo­ru geo­gra­fie.

Jeli­kož jsem v země­pi­su (či geo­gra­fii) poměr­ně neko­va­ný (napo­sle­dy jsem něco toho­to názvu měl na ZŠ a tam jsme na sle­pých mapách kres­li­li, kudy teče Dunaj (ano, tedy před­mět napros­to k niče­mu…)), měl jsem zpr­vu poměr­ně strach, jak se budu v tom­to před­mě­tu ori­en­to­vat. Jak pří­jem­né bylo moje zjiš­tě­ní, že se nemu­sím (asi) niče­ho bát, jed­ná se vlast­ně o pro­po­je­ní mate­ma­ti­ky a geo­gra­fie (jak by jeden z názvu před­mě­tu urči­tě neřekl :-))

Co to však zna­me­ná; pod­le syla­bu se bude čas­to počí­tat s růz­ný­mi věc­mi na kulo­vých sou­řad­ni­cích, bude­me se učit odpo­vě­di tře­ba na otáz­ku „10. červ­na v 11 hodin dopo­led­ne roku 2013 dopa­da­lo slun­ce na Sta­ro­měst­ské náměs­tí pod jakým úhlem“ a podob­ně — čili se těším. Asi i zabrou­sí­me do oblas­ti GPS, o těch lecos vím, tak­že si rád roz­ší­řím (či zopa­ku­ji) zna­los­ti.

Vypa­dá to pros­tě na fajn a zají­ma­vý před­mět, tak­že se oprav­du těším. Jen by nemu­se­lo v míst­nos­ti pro 160 lidí být zapsá­no 210 lidí, abychom nemu­se­li sedět na scho­dech, v oknech, na klí­nech a tak podob­ně. Nicmé­ně (jak už to tak bývá) během pár dní oče­ká­vám, že se návštěv­nost „zpo­lo­vi­ča­tí“, tak­že se v kli­du vejde­me. Ale je to ško­da, je to oprav­du (ale­spoň zatím) zají­ma­vý před­mět.