Archiv pro rubriku: ZS

MMM1 — statistika výsledků z pondělka:

Ahoj všem, udě­lal jsme si tako­vou malou sta­tis­ti­ku výsled­ků. Do těch­to výsled­ků jsem zvlášť zapo­čí­tal pou­ze lidi, kte­ří mají více, než nula.

Zdrojová data

Vychá­zím z násle­du­jí­cích tabul­ko­vých dat:

Počet bodů
6 10 11.5 10.5 10.5 15 1.5 12
5.5 11 10 9 8 8.5 11.5 6
10.5 10 4 5.5 10 13.5

Cel­ko­vý prů­měr (bodo­vý) je tedy zao­krouh­le­ně 10,45 bodů, čili z těch, kte­ří dosáh­li více než nula bodů může­me tvr­dit, že v prů­mě­ru na body byl test úspěš­ný.

Mlu­ví­me-li o čísel­ných hod­no­tách, máme cel­kem 8 neú­spěš­ných a 13 úspěš­ných výsled­ků. Zapo­čí­tám-li výsled­ky i těch, kte­ří dosáh­li nul či vůbec na test nepři­šli, bylo cel­kem 10 nul, v prů­mě­ru tedy výsle­dek 7,18 bodů a k 8 neú­spěš­ným tak pří­bý­vá i těch­to 10 neú­spěš­ných, cel­kem tedy 18 neú­spěš­ných.

Mlu­ví­me-li o úspěš­ných, bylo 1× 15 bodů, 1× 13,5 bodů, 1× 12 bodů (oujé), 2× 11,5 bodů, 1× 11 bodů, 3× 10,5 bodů a 4× 10 bodů. Váže­ný bodo­vý prů­měr z těch­to hod­not, kte­rý se počí­tá jako:

Prumer = \frac{bodu \times pocet + bodu_2 \times pocet_2 + \ldots + bodu_n \times pocet_n}{\sum pocet}

Ten­to prů­měr vychá­zí jako 11,23 bodů. Nu, proč ne 😉

MMM1 splněno, jupí ;)

Dnes se koneč­ně obje­vi­ly výsled­ky, tak­že se 12 body spl­ně­no, jupí 😉 Gra­tu­lu­ji vítězům 😉

Sice jsem čekal napros­to jiné roz­lo­že­ní bodů (čekal jsem, že prv­ní dva pří­kla­dy dám na maxi­mum, tře­dí na půl a čtvr­tý na půl) a ono jsem měl prv­ní napůl, dru­hý na maxi­mum, tře­tí na půl a čtvr­tý na maxi­mum 😉 😉 To by mě zají­ma­lo, co jsem v tom prv­ním udě­lal jinak 😉 Budu se na to muset zajít podí­vat 😉

MMM1 — pondělní test (poslední ukázkový příklad s vektory)

Zde uvá­dím posled­ní pří­klad s vek­to­ry. Snad tam nebu­dou chy­by 😉 Jinak ten­to člá­nek nava­zu­je na člá­nek o 2. tes­tu z MMM1, kte­rý se zde též nachá­zí.

Nej­pr­ve musí­me určit, zda-li jsou vek­to­ry line­ár­ně závis­lé. To zjis­tí­me vel­mi snad­no tím, že vek­to­ry „vecpe­me“ do mati­ce, polo­ží­me rov­nou nulo­vé­mu vek­to­ru a pro­ve­de­me nad mno­ži­nou eli­mi­na­ci:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ -1 & 5 & 2 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}

\thicksim

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Tady vidí­me, že se nám „vyru­šil“ posled­ní řádek, čímž jsme zjis­ti­li odpo­věď na otáz­ku line­ár­ní závis­los­ti — vek­to­ry jsou závis­lé. Nu ale bude­me pokra­čo­vat. Zba­ví­me se ješ­tě něja­kých čísel, nejdří­ve ale vydě­lí­me 2. řádek troj­kou, abychom dosta­li jed­nič­ky a měli „to jed­no­duš­ší“. Vyjde tedy:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Nu a teď jed­no­du­še může­me od 1. řád­ku ode­číst 2. řádek, abychom dosta­li nulu v posled­ním sloup­ci v prv­ním řád­ku.:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -3 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0\end{pmatrix}

Může­me tedy tvr­dit, že:

a_1 - 3a_2 = 0

a_2 + a_3 = 0

a_3 = k

A pak samo­zřej­mě pou­ze dosa­dit, tak­že:

a_2 = -k

a_1 = -3k

Netri­vi­ál­ní řeše­ní tedy máme jako vek­tor:

(-3k, -k, k)

A to je celé, tády­dá­dy­dá 😉

MMM1 pondělní test

Ahoj všem, dávám sem (ale­spoň někte­ré) řeše­né úlo­hy, kte­ré budou (ze vzo­ro­vé­ho tes­tu, kte­rý je dole pod pří­spěv­kem při­lo­žen). A kdy­bys­te mi tu našli něja­kou nesrov­na­lost, chy­bu, špat­nej postup — tak mi halv­ně dej­te vědět 😉 😉

Určete obor pravdivosti nerovnice:

Jed­ná se o nerov­ni­ci:

\frac{|x-2|}{(2x+5)x} \leq 0

Ze vše­ho nejdří­ve je potře­ba si uvě­do­mit, že se jed­ná o výpo­čet s abso­lut­ní hod­no­tou. Pří­klad pro­to roz­dě­lí­me na dvě čás­ti — na část, kdy „věc“ v abso­lut­ní hod­no­tě je klad­ná (a abso­lut­ní hod­no­tu tedy sluš­ně igno­ru­je­me) a na situ­a­ci, kdy před­po­klá­dá­me, že „věc“ v abso­lut­ní hod­no­tě je zápor­ná. Naštěs­tí pro nás máme pou­ze jed­nu abso­lut­ní hod­no­tu, jinak bychom muse­li určit tuto pro všech­ny abso­lut­ní hod­no­ty.

Prv­ní situ­a­ce — před­po­klá­dá­me klad­nou hod­no­tu v abs. hod­no­tě:

Bude­me tedy abs. hod­no­tu igno­ro­vat: (s klad­ným čís­lem abs() nic neu­dě­lá, tak­že jako by tam neby­la…)

\frac{x-2}{(2x+5)x} \leq 0

a vyře­ší­me situ­a­ci, pro kte­rá x daná věc pla­tí. Jeden bod vidí­me hned, a to sice „nulo­vý“ — chce­me-li mít zlo­mek nulo­vý, sta­čí čita­tel nulo­vý. Potom pro:

x-2=0, -x+2 = 0

tak­že

x=2

Dělí­cím“ bodem je tedy x=2, čili teď bude­me roz­ho­do­vat na „klad­nost“ pod­le toho, jest­li x<2, ane­bo x>2 a pak vyře­ší­me pro kaž­dou oblast zvlášť. Tyto oblas­ti spo­jí­me sjed­no­ce­ním, pro­to­že pla­tí, že pla­tí pro něja­kou část jed­no řeše­ní a pro něja­kou část dal­ší řeše­ní.

Vez­mě­me to tedy pěk­ně zpra­va — pokud je tedy x>2. Pokud tedy tuto pla­tí, je i výraz v abs. hod­no­tě vždy klad­ný a potom píše­me:

\frac{x-2}{(2x+5)x} < 0

Pokud hle­dá­me zlo­mek (podíl), kte­rý má být men­ší nule (zápor­ný), potom musí být čita­tel klad­ný a jme­no­va­tel zápor­ný ane­bo nao­pak. Musí­me zde tedy roz­dě­lit řeše­ní na dvě pod­čás­ti:

Nej­pr­ve vari­an­ta klad­ný čita­tel a zápor­ný jme­no­va­tel:

x-2 > 0

x>2

A pro jme­no­va­tel:

(2x+5)x < 0

Výraz odpo­ví­dá kon­vex­ní para­bo­le, jejíž koře­ny jsou −5÷2 a 0. Zápor­ná se nachá­zí jen mezi těmi­to body, čili pla­tí, že:

-5/2 < x < 0

Obě řeše­ní musí pla­tit sou­čas­ně, čili tato vari­an­ta nemá řeše­ní. Jupí. Jde­me na dru­hou mož­nost — zápor­ný čita­tel a klad­ný jme­no­va­tel.

Pro čita­tel tedy:

x-2<0

x<2

Hod­no­ta čita­te­le tedy vyšla x<2, nicmé­ně řeší­me even­tu­a­li­tu, kdy x musí být vět­ší 2, čili nee­xis­tu­je prů­nik těch­to dvou mno­žin a řeše­ní opět nee­xis­tu­je (dru­hou část ani řešit nemu­sí­me). Jupí podru­hé 😉

Nyní zbý­vá jen jed­no­du­še spo­čí­tat totéž ale pro opač­nou hod­no­tu výra­zu v abso­lut­ní hod­no­tě. Tedy pro x<2.

Nej­pr­ve pro klad­ný čita­tel a zápor­ný jme­no­va­tel:

Pro čita­tel tedy:

-x+2 > 2

x<2

Pro jme­no­va­tel:

(2x+5)x < 0

Což je totéž, co před tím. Tedy inter­val (−5÷2; 0). Pokud má ten­to inter­val pla­tit sou­čas­ně s x<2, zby­de jen ten­to inter­val, tedy (-5/2;0). Máme něja­kou prv­ní hod­no­tu, výbor­ně 😉

No a na konec pro zápor­ný čita­tel a klad­ný jme­no­va­tel.

Zápor­ný čita­tel:

-x+2<0

x>2

No a stej­ně jako o pár vzo­reč­ků výše, toto nedá žád­né řeše­ní, čili hoto­vo. 😉

Co nám tedy zby­lo — pou­ze inter­val (-5/2;0). Nicmé­ně nesmí­me zapo­me­nout, že v zadá­ní bylo „men­ší nebo rov­no nule“ — a pro nulu jsme spo­čí­ta­li, že se jed­ná o bod „2“. Celé řeše­ní je tedy sjed­no­ce­ním (jak jsem psal výše) těch­to hod­not a inter­va­lů: Tedy:

x \in (-\frac{5}{2}; 0) \cup {2}

Neza­po­meň­te, že závor­ky jsou kula­té — počí­ta­li jsme pro „men­ší než“ a sle­pi­li to nako­nec s hod­no­tou pro „rov­no“ 😉

Řešení rovnice s kombinačními čísly:

Tady je to vel­mi jed­no­du­ché. Je tře­ba si uvě­do­mit základ­ní „vzo­re­ček“ pro výpo­čet kom­bi­nač­ní­ho čís­la:

{{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Čili jed­no­du­še pro zadá­ní:

2{{x-1}\choose{2}}-2 = 2{{x}\choose{3}}

2 \frac{(x-1)!}{2!(x-1-2)!}-2 = 2 \frac{x!}{3!(x-3)!}

Tak­že teď se jen tri­vi­ál­ně zba­vit fak­to­ri­á­lů:

2 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2!(x-3)!}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3!(x-3)!}

Poškr­tá­me, co jde, fak­to­ri­á­ly čísel pře­ve­de­me na obyč čís­la:

2 \frac{(x-1)(x-2)}{2}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)}{6}

Nu a tohle už bychom měli snad­no vyře­šit:

(x-1)(x-2)-2 = \frac{x(x-1)(x-2)}{3}

x^2-3x+2 - 2 = \frac{1}{3} x (x^2-3x+2)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3-3x^2+2x)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3) - x^2+\frac{2}{3}x

-\frac{1}{3}(x^3) +x^2 + x^2 -3x -\frac{2}{3}x = 0

-\frac{1}{3}(x^3) +2x^2 -\frac{11}{3}x = 0

-x(\frac{1}{3}(x^2) +2x -\frac{11}{3}) = 0

Tady rov­nou vidí­me mož­nost tří koře­nů. Jede je auto­ma­tic­ky hned x=0, to je jas­né. Dal­ší koře­ny však vyjdou kom­plex­ně, čili koře­ny neře­ším (zadá­ní je v obo­ru přir. čísel) 😉 Řeše­ní je tedy x=0 😉 FFFUUU! 😉

Určete graficky komp. čísla z, která jsou řešením soustavy nerovnic:

\mathrm{Re}~z > \mathrm{Im}~z

|z| < 1

Řeše­ní je oprav­du pros­té. Nakres­lí­me si reál­nou a ima­gi­nár­ní osu a zjis­tí­me, pro kte­ré reál­né koe­fi­ci­en­ty pla­tí, že jsou vět­ší, než ima­gi­nár­ní:

re_im_všechno

Pokud omlu­ví­te mé umě­lec­ké schop­nos­ti v malo­vá­ní tedy 😀 Ale jak vidí­te, je to jas­né — všec­ko, co je pod čarou (!! bacha, bez čáry, má to být men­ší a ne men­ší nebo rov­no !!) a i co je pod osou X, pros­tě „všu­de dole“ už, vyho­vu­je prv­ní rov­ni­ci.

Zapra­cu­je­me na dru­hé rov­ni­ci — ta nám říká, že máme vybrat pou­ze hod­no­ty pro abso­lut­ní hod­no­tu men­ší, než „1“. Bude to tedy krou­žek o polo­mě­ru „1“ kolem bodu [0, 0]. A řeše­ním je to, co se nachá­zí v prů­ni­ku toho­to krouž­ku (bez okra­je, má být men­ší, než 1!) a této oblas­ti pod čarou, tedy něco jako zde, vše co je zele­né bez oran­žo­vé je vlast­ně výsle­dek 😉

re_im_ořez

Nu a vek­to­ry (pos­len­dí pří­klad) budu řešit až v nedě­li (dnes), tak­že oče­ká­vej­te, pokud to někdo sle­du­je­te, něja­ké řeše­ní 😉 Zatím 😉

Tož vek­to­ry jsou vyře­še­né, avšak v samo­stat­ném člán­ku 😉

[wpba-atta­chment-list]

FPV — řešený zkouškový test A

Řeše­ní (a proč je to tak řeše­no) zkouš­ko­vé­ho tes­tu A z FPV:

1. Fyzikální rozměr jednotky momentu síly je:

a) kg*m2*s-2 b) kg2*m*s-2 c) kg*m*s-2 d) kg2*m3

Důvod je jas­ný — jed­not­ka momen­tu síly je Nm (New­ton metr). 1 N je síla půso­bí­cí těle­sem 1 kg při zrych­le­ní 1 m s^-2. Fyzi­kál­ní roz­měr jed­no­ho N je tedy kg m s^-2. N m má tedy roz­měr kg m^2 s^-2.

2. Který z následujících převodů jednotek je chybně?

a) 0,12 m2 = 1200 cm2  b) 3,9 l = 3900 cm3 c) 0,124 m3 = 124 l  d) 4150 mm2 = 4,15 dm2

Tady je řeše­ní opět jas­né, sta­čí jen pře­vá­dět správ­ně 😉

4. Jaký úhel spolu svírají tečné a normálové zrychlení při křivočarém pohybu hmotného bodu?

a) 0º b) 180 º c) 90º d) 30º

Opět jas­né — teč­na a nor­má­la sví­rá pros­tě 90° 😉

5. Srazí se dva přímo proti sobě jedoucí vozíky, z nichž první má hmotnost 2 kg a rychlost 35 m*s-1 a druhý hmotnost 5 kg a rychlost 14 m*s-1. Po srážce dojde ke spojení obou vozíků. Jaká je velikost rychlosti spojeného systému?

a) 20 m*s-1 b) 10 m*s-1 c) 0 m*s-1 d) 5 m*s-1

Jak tohle spo­číst? Jed­no­du­še — do rov­nos­ti dáme hyb­nos­ti:

m_1 v_1 = m_2 v_2

2 kg \cdot 35 ms^{-1} = 5 kg \cdot 14 ms^{-1}

a zjis­tí­me, že jsou stej­né. Výsled­ná hyb­nost je tedy:

p = p_2 - p_1 = 0

A z toho logic­ky vyplý­vá, že i výsled­ná rych­lost bude nulo­vá. Pokud by hyb­nos­ti nesou­hla­si­ly (při jiném zadá­ní hod­not), ode­čet­li bychom jed­no­du­še hyb­nos­ti od sebe a pokud zná­me hyb­nost výsled­né sou­sta­vy a cel­ko­vou hmot­nost sou­sta­vy (sou­čet díl­čích hmot­nos­tí), potom snad­no spo­čí­tá­me i výsled­nou rych­lost sou­sta­vy.

Pokud by tedy pří­klad byl zadán tak, že dru­hé (těž­ší) těle­so nepo­je­de 14, ale 15 metrů/​sekundu, pla­ti­lo by:

p = p_2 - p_1 = m_2 v_2 - m_1 v_1 = 15\cdot5 - 2\cdot35 = 5 {~} \mathrm{kg m s^{-1}}

Což je důkaz toho, že těle­so se bude pohy­bo­vat výsled­nou rych­los­tí odvo­ze­nou jako:

v = \frac{p}{m} = \frac{p}{m_1 + m_2} = \frac{5}{2+5} = \frac{5}{7} ~\mathrm{ms^{-1}}

6. V kterém z následujících případů musím k výpočtu práce nutně použít integrál?

a) vyta­ho­vá­ní cih­ly do výš­ky h v homo­gen­ním tího­vém poli bez odpo­ru vzdu­chu
b) pře­ko­ná­vá­ní stá­lé odpo­ro­vé síly vzdu­chu půso­bí­cí pro­ti smě­ru pohy­bu
c) pře­ko­ná­vá­ní stá­le odpo­ro­vé síly půso­bí­cí pod úhlem 30 stup­ňů na směr pohy­bu
d) pře­ko­ná­vá­ní pro­měn­né odpo­ro­vé síly půso­bí­cí pro­ti smě­ru pohy­bu

Tady je řeše­ní též evi­dent­ní. Pou­žít ho samo­zřej­mě může­me ve všech pří­pa­dech, ale pokud jde o musí­me, potom jedi­ně tam, kde máme růz­ně spo­ji­tě pro­měn­né síly, např. v uve­de­ném pří­pa­dě.

7. Podle 2. Keplerova zákona má Země při oběhu kolem Slunce největší rychlost v

a) peri­héliu, jež je nej­dál od Slun­ce b) peri­héliu, jež je neblíž ke Slunci
c) aféliu, jež je nej­dál od Slun­ce d) aféliu, jež je nej­blíž ke Slun­ci

Řeše­ní je evi­dent­ní; pod­le 2. Keple­ro­va záko­na je pohyb nej­rych­lej­ší tam, kde je k hmot­né­mu bodu těle­so nej­blí­že (prů­vo­dič musí opsat pořád stej­nou plo­chu).

8. Máme válec, kouli a obruč se stejnou hmotností a stejným poloměrem. Které z těchto těles bude mít největší moment setrvačnosti vůči ose symetrie tělesa?

a) válec b) obruč c) válec a obruč budou mít stej­ný a vět­ší než kou­le d) kou­le

Nej­vět­ší moment setr­vač­nos­ti má těle­so, kte­ré má co nej­ví­ce hmot­nos­ti „na kra­ji“ a co nejmé­ně „upro­střed“. A z uve­de­ných je to obruč.

Pro ten­to­krát toho nechá­me, poz­dě­ji dopl­ním dal­ší odpo­vě­di a řeše­ní pří­kla­dů.

Černá díra v centru Galaxie před 2 miliony lety zářila „trochu víc“

Tedy pod­le tuto­ho člán­ku. Zají­ma­vé 😉

http://​www​.for​bes​.com/​s​i​t​e​s​/​a​l​e​x​k​n​a​p​p​/​2013​/​09​/​25​/​t​h​e​-​m​i​l​k​y​-​w​a​y​s​-​s​u​p​e​r​m​a​s​s​i​v​e​-​b​l​a​c​k​-​h​o​l​e​-​e​r​u​p​t​e​d​-​t​w​o​-​m​i​l​l​i​o​n​-​y​e​a​r​s​-​a​go/