Archiv pro rubriku: ZS

MMM1 -- statistika výsledků z pondělka:

Ahoj všem, udělal jsme si takovou malou statistiku výsledků. Do těchto výsledků jsem zvlášť započítal pouze lidi, kteří mají více, než nula.

Zdrojová data

Vycházím z následujících tabulkových dat:

Počet bodů
6 10 11.5 10.5 10.5 15 1.5 12
5.5 11 10 9 8 8.5 11.5 6
10.5 10 4 5.5 10 13.5

Celkový průměr (bodový) je tedy zaokrouhleně 10,45 bodů, čili z těch, kteří dosáhli více než nula bodů můžeme tvrdit, že v průměru na body byl test úspěšný.

Mluvíme-li o číselných hodnotách, máme celkem 8 neúspěšných a 13 úspěšných výsledků.  Započítám-li výsledky i těch, kteří dosáhli nul či vůbec na test nepřišli, bylo celkem 10 nul, v průměru tedy výsledek 7,18 bodů a k 8 neúspěšným tak příbývá i těchto 10 neúspěšných, celkem tedy 18 neúspěšných.

Mluvíme-li o úspěšných, bylo 1× 15 bodů, 1× 13,5 bodů, 1× 12 bodů (oujé), 2× 11,5 bodů, 1× 11 bodů, 3× 10,5 bodů a 4× 10 bodů. Vážený bodový průměr z těchto hodnot, který se počítá jako:

Prumer = \frac{bodu \times pocet + bodu_2 \times pocet_2 + \ldots + bodu_n \times pocet_n}{\sum pocet}

Tento průměr vychází jako 11,23 bodů. Nu, proč ne 😉

MMM1 splněno, jupí ;)

Dnes se konečně objevily výsledky, takže se 12 body splněno, jupí 😉 Gratuluji vítězům 😉

Sice jsem čekal naprosto jiné rozložení bodů (čekal jsem, že první dva příklady dám na maximum, tředí na půl a čtvrtý na půl) a ono jsem měl první napůl, druhý na maximum, třetí na půl a čtvrtý na maximum 😉 😉 To by mě zajímalo, co jsem v tom prvním udělal jinak 😉 Budu se na to muset zajít podívat 😉

MMM1 -- pondělní test (poslední ukázkový příklad s vektory)

Zde uvádím poslední příklad s vektory. Snad tam nebudou chyby 😉 Jinak tento článek navazuje na článek o 2. testu z MMM1, který se zde též nachází.

Nejprve musíme určit, zda-li jsou vektory lineárně závislé. To zjistíme velmi snadno tím, že vektory "vecpeme" do matice, položíme rovnou nulovému vektoru a provedeme nad množinou eliminaci:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ -1 & 5 & 2 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}

\thicksim

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Tady vidíme, že se nám "vyrušil" poslední řádek, čímž jsme zjistili odpověď na otázku lineární závislosti -- vektory jsou závislé. Nu ale budeme pokračovat. Zbavíme se ještě nějakých čísel, nejdříve ale vydělíme 2. řádek trojkou, abychom dostali jedničky a měli "to jednodušší". Vyjde tedy:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Nu a teď jednoduše můžeme od 1. řádku odečíst 2. řádek, abychom dostali nulu v posledním sloupci v prvním řádku.:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -3 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0\end{pmatrix}

Můžeme tedy tvrdit, že:

a_1 - 3a_2 = 0

a_2 + a_3 = 0

a_3 = k

A pak samozřejmě pouze dosadit, takže:

a_2 = -k

a_1 = -3k

Netriviální řešení tedy máme jako vektor:

(-3k, -k, k)

A to je celé, tádydádydá 😉

MMM1 pondělní test

Ahoj všem, dávám sem (alespoň některé) řešené úlohy, které budou (ze vzorového testu, který je dole pod příspěvkem přiložen). A kdybyste mi tu našli nějakou nesrovnalost, chybu, špatnej postup -- tak mi halvně dejte vědět 😉 😉

Určete obor pravdivosti nerovnice:

Jedná se o nerovnici:

\frac{|x-2|}{(2x+5)x} \leq 0

Ze všeho nejdříve je potřeba si uvědomit, že se jedná o výpočet s absolutní hodnotou. Příklad proto rozdělíme na dvě části -- na část, kdy "věc" v absolutní hodnotě je kladná (a absolutní hodnotu tedy slušně ignorujeme) a na situaci, kdy předpokládáme, že "věc" v absolutní hodnotě je záporná. Naštěstí pro nás máme pouze jednu absolutní hodnotu, jinak bychom museli určit tuto pro všechny absolutní hodnoty.

První situace -- předpokládáme kladnou hodnotu v abs. hodnotě:

Budeme tedy abs. hodnotu ignorovat: (s kladným číslem abs() nic neudělá, takže jako by tam nebyla...)

\frac{x-2}{(2x+5)x} \leq 0

a vyřešíme situaci, pro která x daná věc platí. Jeden bod vidíme hned, a to sice "nulový" -- chceme-li mít zlomek nulový, stačí čitatel nulový. Potom pro:

x-2=0, -x+2 = 0

takže

x=2

"Dělícím" bodem je tedy x=2, čili teď budeme rozhodovat na "kladnost" podle toho, jestli x<2, anebo x>2 a pak vyřešíme pro každou oblast zvlášť. Tyto oblasti spojíme sjednocením, protože platí, že platí pro nějakou část jedno řešení a pro nějakou část další řešení.

Vezměme to tedy pěkně zprava -- pokud je tedy x>2. Pokud tedy tuto platí, je i výraz v abs. hodnotě vždy kladný a potom píšeme:

\frac{x-2}{(2x+5)x} < 0

Pokud hledáme zlomek (podíl), který má být menší nule (záporný), potom musí být čitatel kladný a jmenovatel záporný anebo naopak. Musíme zde tedy rozdělit řešení na dvě podčásti:

Nejprve varianta kladný čitatel a záporný jmenovatel:

x-2 > 0

x>2

A pro jmenovatel:

(2x+5)x < 0

Výraz odpovídá konvexní parabole, jejíž kořeny jsou -5/2 a 0. Záporná se nachází jen mezi těmito body, čili platí, že:

-5/2 < x < 0

Obě řešení musí platit současně, čili tato varianta nemá řešení. Jupí. Jdeme na druhou možnost -- záporný čitatel a kladný jmenovatel.

Pro čitatel tedy:

x-2<0

x<2

Hodnota čitatele tedy vyšla x<2, nicméně řešíme eventualitu, kdy x musí být větší 2, čili neexistuje průnik těchto dvou množin a řešení opět neexistuje (druhou část ani řešit nemusíme). Jupí podruhé 😉

Nyní zbývá jen jednoduše spočítat totéž ale pro opačnou hodnotu výrazu v absolutní hodnotě. Tedy pro x<2.

Nejprve pro kladný čitatel a záporný jmenovatel:

Pro čitatel tedy:

-x+2 > 2

x<2

Pro jmenovatel:

(2x+5)x < 0

Což je totéž, co před tím. Tedy interval (-5/2; 0). Pokud má tento interval platit současně s x<2, zbyde jen tento interval, tedy (-5/2;0). Máme nějakou první hodnotu, výborně 😉

No a na konec pro záporný čitatel a kladný jmenovatel.

Záporný čitatel:

-x+2<0

x>2

No a stejně jako o pár vzorečků výše, toto nedá žádné řešení, čili hotovo. 😉

Co nám tedy zbylo -- pouze interval (-5/2;0). Nicméně nesmíme zapomenout, že v zadání bylo "menší nebo rovno nule" -- a pro nulu jsme spočítali, že se jedná o bod "2". Celé řešení je tedy sjednocením (jak jsem psal výše) těchto hodnot a intervalů: Tedy:

x \in (-\frac{5}{2}; 0) \cup {2}

Nezapomeňte, že závorky jsou kulaté -- počítali jsme pro "menší než" a slepili to nakonec s hodnotou pro "rovno" 😉

Řešení rovnice s kombinačními čísly:

Tady je to velmi jednoduché. Je třeba si uvědomit základní "vzoreček" pro výpočet kombinačního čísla:

{{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Čili jednoduše pro zadání:

2{{x-1}\choose{2}}-2 = 2{{x}\choose{3}}

2 \frac{(x-1)!}{2!(x-1-2)!}-2 = 2 \frac{x!}{3!(x-3)!}

Takže teď se jen triviálně zbavit faktoriálů:

2 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2!(x-3)!}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3!(x-3)!}

Poškrtáme, co jde, faktoriály čísel převedeme na obyč čísla:

2 \frac{(x-1)(x-2)}{2}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)}{6}

Nu a tohle už bychom měli snadno vyřešit:

(x-1)(x-2)-2 = \frac{x(x-1)(x-2)}{3}

x^2-3x+2 - 2 = \frac{1}{3} x (x^2-3x+2)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3-3x^2+2x)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3) - x^2+\frac{2}{3}x

-\frac{1}{3}(x^3) +x^2 + x^2 -3x -\frac{2}{3}x = 0

-\frac{1}{3}(x^3) +2x^2 -\frac{11}{3}x = 0

-x(\frac{1}{3}(x^2) +2x -\frac{11}{3}) = 0

Tady rovnou vidíme možnost tří kořenů. Jede je automaticky hned x=0, to je jasné. Další kořeny však vyjdou komplexně, čili kořeny neřeším (zadání je v oboru přir. čísel) 😉 Řešení je tedy x=0 😉 FFFUUU! 😉

Určete graficky komp. čísla z, která jsou řešením soustavy nerovnic:

\mathrm{Re}~z > \mathrm{Im}~z

|z| < 1

Řešení je opravdu prosté. Nakreslíme si reálnou a imaginární osu a zjistíme, pro které reálné koeficienty platí, že jsou větší, než imaginární:

re_im_všechno

Pokud omluvíte mé umělecké schopnosti v malování tedy 😀 Ale jak vidíte, je to jasné -- všecko, co je pod čarou (!! bacha, bez čáry, má to být menší a ne menší nebo rovno !!) a i co je pod osou X, prostě "všude dole" už, vyhovuje první rovnici.

Zapracujeme na druhé rovnici -- ta nám říká, že máme vybrat pouze hodnoty pro absolutní hodnotu menší, než "1". Bude to tedy kroužek o poloměru "1" kolem bodu [0, 0]. A řešením je to, co se nachází v průniku tohoto kroužku (bez okraje, má být menší, než 1!) a této oblasti pod čarou, tedy něco jako zde, vše co je zelené bez oranžové je vlastně výsledek 😉

re_im_ořez

Nu a vektory (poslendí příklad) budu řešit až v neděli (dnes), takže očekávejte, pokud to někdo sledujete, nějaké řešení 😉 Zatím 😉

Tož vektory jsou vyřešené, avšak v samostatném článku 😉

[wpba-attachment-list]

FPV -- řešený zkouškový test A

Řešení (a proč je to tak řešeno) zkouškového testu A z FPV:

1. Fyzikální rozměr jednotky momentu síly je:

a) kg*m2*s-2     b) kg2*m*s-2   c) kg*m*s-2   d) kg2*m3

Důvod je jasný -- jednotka momentu síly je Nm (Newton metr). 1 N je síla působící tělesem 1 kg při zrychlení 1 m s^-2. Fyzikální rozměr jednoho N je tedy kg m s^-2. N m má tedy rozměr kg m^2 s^-2.

2. Který z následujících převodů jednotek je chybně?

a) 0,12 m2 = 1200 cm2        b) 3,9 l = 3900 cm3       c) 0,124 m3 = 124 l       d) 4150 mm2 = 4,15 dm2

Tady je řešení opět jasné, stačí jen převádět správně 😉

4. Jaký úhel spolu svírají tečné a normálové zrychlení při křivočarém pohybu hmotného bodu?

a) 0º    b) 180 º   c) 90º   d) 30º

Opět jasné -- tečna a normála svírá prostě 90° 😉

5. Srazí se dva přímo proti sobě jedoucí vozíky, z nichž první má hmotnost 2 kg a rychlost 35 m*s-1 a druhý hmotnost 5 kg a rychlost 14 m*s-1. Po srážce dojde ke spojení obou vozíků. Jaká je velikost rychlosti spojeného systému?

 a) 20 m*s-1   b) 10 m*s-1    c) 0 m*s-1   d) 5 m*s-1

Jak tohle spočíst? Jednoduše -- do rovnosti dáme hybnosti:

m_1 v_1 = m_2 v_2

2 kg \cdot 35 ms^{-1} = 5 kg \cdot 14 ms^{-1}

a zjistíme, že jsou stejné. Výsledná hybnost je tedy:

p = p_2 - p_1 = 0

A z toho logicky vyplývá, že i výsledná rychlost bude nulová. Pokud by hybnosti nesouhlasily (při jiném zadání hodnot), odečetli bychom jednoduše hybnosti od sebe a pokud známe hybnost výsledné soustavy a celkovou hmotnost soustavy (součet dílčích hmotností), potom snadno spočítáme i výslednou rychlost soustavy.

Pokud by tedy příklad byl zadán  tak, že druhé (těžší) těleso nepojede 14, ale 15 metrů/sekundu, platilo by:

p = p_2 - p_1 = m_2 v_2 - m_1 v_1 = 15\cdot5 - 2\cdot35 = 5 {~} \mathrm{kg m s^{-1}}

Což je důkaz toho, že těleso se bude pohybovat výslednou rychlostí odvozenou jako:

v = \frac{p}{m} = \frac{p}{m_1 + m_2} = \frac{5}{2+5} = \frac{5}{7} ~\mathrm{ms^{-1}}

6. V kterém z následujících případů musím k výpočtu práce nutně použít integrál?

a) vytahování cihly do výšky h v homogenním tíhovém poli bez odporu vzduchu
b) překonávání stálé odporové síly vzduchu působící proti směru pohybu
c) překonávání stále odporové síly působící pod úhlem 30 stupňů na směr pohybu
d) překonávání proměnné odporové síly působící proti směru pohybu

Tady je řešení též evidentní. Použít ho samozřejmě můžeme ve všech případech, ale pokud jde o musíme, potom jedině tam, kde máme různě spojitě proměnné síly, např. v uvedeném případě.

7. Podle 2. Keplerova zákona má Země při oběhu  kolem Slunce největší rychlost v

a) perihéliu, jež je nejdál od Slunce    b) perihéliu, jež je neblíž ke Slunci
c) aféliu, jež je nejdál od Slunce   d) aféliu, jež je nejblíž ke Slunci

Řešení je evidentní; podle 2. Keplerova zákona je pohyb nejrychlejší tam, kde je k hmotnému bodu těleso nejblíže (průvodič musí opsat pořád stejnou plochu).

8. Máme válec, kouli a obruč se stejnou hmotností a stejným poloměrem. Které z těchto těles bude mít největší moment setrvačnosti vůči ose symetrie tělesa?

 a)      válec b) obruč  c) válec a obruč budou mít stejný a větší než koule  d) koule

Největší moment setrvačnosti má těleso, které má co nejvíce hmotnosti "na kraji" a co nejméně "uprostřed".  A z uvedených je to obruč.

Pro tentokrát toho necháme, později doplním další odpovědi a řešení příkladů.