Zdroj: CW
[wpba-attachment-list]
Zdroj: CW
[wpba-attachment-list]
[wpba-attachment-list]
Zde uvádím poslední příklad s vektory. Snad tam nebudou chyby 😉 Jinak tento článek navazuje na článek o 2. testu z MMM1, který se zde též nachází.
Nejprve musíme určit, zda-li jsou vektory lineárně závislé. To zjistíme velmi snadno tím, že vektory „vecpeme“ do matice, položíme rovnou nulovému vektoru a provedeme nad množinou eliminaci:
Tady vidíme, že se nám „vyrušil“ poslední řádek, čímž jsme zjistili odpověď na otázku lineární závislosti — vektory jsou závislé. Nu ale budeme pokračovat. Zbavíme se ještě nějakých čísel, nejdříve ale vydělíme 2. řádek trojkou, abychom dostali jedničky a měli „to jednodušší“. Vyjde tedy:
Nu a teď jednoduše můžeme od 1. řádku odečíst 2. řádek, abychom dostali nulu v posledním sloupci v prvním řádku.:
Můžeme tedy tvrdit, že:
A pak samozřejmě pouze dosadit, takže:
Netriviální řešení tedy máme jako vektor:
A to je celé, tádydádydá 😉
Ahoj všem, dávám sem (alespoň některé) řešené úlohy, které budou (ze vzorového testu, který je dole pod příspěvkem přiložen). A kdybyste mi tu našli nějakou nesrovnalost, chybu, špatnej postup — tak mi halvně dejte vědět 😉 😉
Jedná se o nerovnici:
Ze všeho nejdříve je potřeba si uvědomit, že se jedná o výpočet s absolutní hodnotou. Příklad proto rozdělíme na dvě části — na část, kdy „věc“ v absolutní hodnotě je kladná (a absolutní hodnotu tedy slušně ignorujeme) a na situaci, kdy předpokládáme, že „věc“ v absolutní hodnotě je záporná. Naštěstí pro nás máme pouze jednu absolutní hodnotu, jinak bychom museli určit tuto pro všechny absolutní hodnoty.
První situace — předpokládáme kladnou hodnotu v abs. hodnotě:
Budeme tedy abs. hodnotu ignorovat: (s kladným číslem abs() nic neudělá, takže jako by tam nebyla…)
a vyřešíme situaci, pro která x daná věc platí. Jeden bod vidíme hned, a to sice „nulový“ — chceme-li mít zlomek nulový, stačí čitatel nulový. Potom pro:
takže
„Dělícím“ bodem je tedy x=2, čili teď budeme rozhodovat na „kladnost“ podle toho, jestli x<2, anebo x>2 a pak vyřešíme pro každou oblast zvlášť. Tyto oblasti spojíme sjednocením, protože platí, že platí pro nějakou část jedno řešení a pro nějakou část další řešení.
Vezměme to tedy pěkně zprava — pokud je tedy x>2. Pokud tedy tuto platí, je i výraz v abs. hodnotě vždy kladný a potom píšeme:
Pokud hledáme zlomek (podíl), který má být menší nule (záporný), potom musí být čitatel kladný a jmenovatel záporný anebo naopak. Musíme zde tedy rozdělit řešení na dvě podčásti:
Nejprve varianta kladný čitatel a záporný jmenovatel:
A pro jmenovatel:
Výraz odpovídá konvexní parabole, jejíž kořeny jsou −5÷2 a 0. Záporná se nachází jen mezi těmito body, čili platí, že:
Obě řešení musí platit současně, čili tato varianta nemá řešení. Jupí. Jdeme na druhou možnost — záporný čitatel a kladný jmenovatel.
Pro čitatel tedy:
Hodnota čitatele tedy vyšla x<2, nicméně řešíme eventualitu, kdy x musí být větší 2, čili neexistuje průnik těchto dvou množin a řešení opět neexistuje (druhou část ani řešit nemusíme). Jupí podruhé 😉
Nyní zbývá jen jednoduše spočítat totéž ale pro opačnou hodnotu výrazu v absolutní hodnotě. Tedy pro x<2.
Nejprve pro kladný čitatel a záporný jmenovatel:
Pro čitatel tedy:
Pro jmenovatel:
Což je totéž, co před tím. Tedy interval (−5÷2; 0). Pokud má tento interval platit současně s x<2, zbyde jen tento interval, tedy (-5/2;0). Máme nějakou první hodnotu, výborně 😉
No a na konec pro záporný čitatel a kladný jmenovatel.
Záporný čitatel:
No a stejně jako o pár vzorečků výše, toto nedá žádné řešení, čili hotovo. 😉
Co nám tedy zbylo — pouze interval (-5/2;0). Nicméně nesmíme zapomenout, že v zadání bylo „menší nebo rovno nule“ — a pro nulu jsme spočítali, že se jedná o bod „2“. Celé řešení je tedy sjednocením (jak jsem psal výše) těchto hodnot a intervalů: Tedy:
Nezapomeňte, že závorky jsou kulaté — počítali jsme pro „menší než“ a slepili to nakonec s hodnotou pro „rovno“ 😉
Tady je to velmi jednoduché. Je třeba si uvědomit základní „vzoreček“ pro výpočet kombinačního čísla:
Čili jednoduše pro zadání:
Takže teď se jen triviálně zbavit faktoriálů:
Poškrtáme, co jde, faktoriály čísel převedeme na obyč čísla:
Nu a tohle už bychom měli snadno vyřešit:
Tady rovnou vidíme možnost tří kořenů. Jede je automaticky hned x=0, to je jasné. Další kořeny však vyjdou komplexně, čili kořeny neřeším (zadání je v oboru přir. čísel) 😉 Řešení je tedy x=0 😉 FFFUUU! 😉
Řešení je opravdu prosté. Nakreslíme si reálnou a imaginární osu a zjistíme, pro které reálné koeficienty platí, že jsou větší, než imaginární:
Pokud omluvíte mé umělecké schopnosti v malování tedy 😀 Ale jak vidíte, je to jasné — všecko, co je pod čarou (!! bacha, bez čáry, má to být menší a ne menší nebo rovno !!) a i co je pod osou X, prostě „všude dole“ už, vyhovuje první rovnici.
Zapracujeme na druhé rovnici — ta nám říká, že máme vybrat pouze hodnoty pro absolutní hodnotu menší, než „1“. Bude to tedy kroužek o poloměru „1“ kolem bodu [0, 0]. A řešením je to, co se nachází v průniku tohoto kroužku (bez okraje, má být menší, než 1!) a této oblasti pod čarou, tedy něco jako zde, vše co je zelené bez oranžové je vlastně výsledek 😉
Nu a vektory (poslendí příklad) budu řešit až v neděli (dnes), takže očekávejte, pokud to někdo sledujete, nějaké řešení 😉 Zatím 😉
Tož vektory jsou vyřešené, avšak v samostatném článku 😉
[wpba-attachment-list]
Řešení (a proč je to tak řešeno) zkouškového testu A z FPV:
a) kg*m2*s-2 b) kg2*m*s-2 c) kg*m*s-2 d) kg2*m3
Důvod je jasný — jednotka momentu síly je Nm (Newton metr). 1 N je síla působící tělesem 1 kg při zrychlení 1 m s^-2. Fyzikální rozměr jednoho N je tedy kg m s^-2. N m má tedy rozměr kg m^2 s^-2.
a) 0,12 m2 = 1200 cm2 b) 3,9 l = 3900 cm3 c) 0,124 m3 = 124 l d) 4150 mm2 = 4,15 dm2
Tady je řešení opět jasné, stačí jen převádět správně 😉
a) 0º b) 180 º c) 90º d) 30º
Opět jasné — tečna a normála svírá prostě 90° 😉
a) 20 m*s-1 b) 10 m*s-1 c) 0 m*s-1 d) 5 m*s-1
Jak tohle spočíst? Jednoduše — do rovnosti dáme hybnosti:
a zjistíme, že jsou stejné. Výsledná hybnost je tedy:
A z toho logicky vyplývá, že i výsledná rychlost bude nulová. Pokud by hybnosti nesouhlasily (při jiném zadání hodnot), odečetli bychom jednoduše hybnosti od sebe a pokud známe hybnost výsledné soustavy a celkovou hmotnost soustavy (součet dílčích hmotností), potom snadno spočítáme i výslednou rychlost soustavy.
Pokud by tedy příklad byl zadán tak, že druhé (těžší) těleso nepojede 14, ale 15 metrů/sekundu, platilo by:
Což je důkaz toho, že těleso se bude pohybovat výslednou rychlostí odvozenou jako:
a) vytahování cihly do výšky h v homogenním tíhovém poli bez odporu vzduchu
b) překonávání stálé odporové síly vzduchu působící proti směru pohybu
c) překonávání stále odporové síly působící pod úhlem 30 stupňů na směr pohybu
d) překonávání proměnné odporové síly působící proti směru pohybu
Tady je řešení též evidentní. Použít ho samozřejmě můžeme ve všech případech, ale pokud jde o musíme, potom jedině tam, kde máme různě spojitě proměnné síly, např. v uvedeném případě.
a) perihéliu, jež je nejdál od Slunce b) perihéliu, jež je neblíž ke Slunci
c) aféliu, jež je nejdál od Slunce d) aféliu, jež je nejblíž ke Slunci
Řešení je evidentní; podle 2. Keplerova zákona je pohyb nejrychlejší tam, kde je k hmotnému bodu těleso nejblíže (průvodič musí opsat pořád stejnou plochu).
a) válec b) obruč c) válec a obruč budou mít stejný a větší než koule d) koule
Největší moment setrvačnosti má těleso, které má co nejvíce hmotnosti „na kraji“ a co nejméně „uprostřed“. A z uvedených je to obruč.
Pro tentokrát toho necháme, později doplním další odpovědi a řešení příkladů.
[wpba-attachment-list]
Přednášky dalších vyučuících z odpoledních fyzik
[wpba-attachment-list]
Ahoj, jen uložené dokumenty ze stránky J. Kohouta, abych to měl při ruce.
[wpba-attachment-list]
Udělal jsem jednoduchý skript na použití metody „Monte Carlo“, který přes náhodný výběr hodnot, která hází do čtverce, vybíráme hodnoty, které jsou náhodně uvnitř vepsaného kruhu. Čím větší číslo dáte, tím blíže se poměr hodnot bude blížit čtvrtině pí. Pokud zadáte čísla kolem 100 000, už bude skript chvilku počítat, tak se nedivte 😉
Studentka KKJ mi dala k zveřejnění materiály na předmět CBG/BIO. Prý další budou přibývat, tak se máme na co těšit 😉 😉
[wpba-attachment-list]
Hezký vysvětlující článek k Luciině efektu.
[wpba-attachment-list]
Dalším podobným příkladem, jako zjištění kdy zapadá Slunce, je zjištění místa (tedy azimutu) Slunce, které akorát vyjde.
Vyjdeme z velmi podobných podmínek, jako minule — výška Slunce nad obzorem při východu je opět 0°, čímž se nám výpočet velmi zjednoduší. Azimut je úhel, který svírá přímka vedena pozorovatelem a místem věci, kterou pozorujeme s rovinou pozorovatele a jižního bodu (azimut 0°). Pokud Slunce zapadá, bude mít kladný azimut, pokud vychází, buď záporný anebo „okolo“ kolem 270°.
Ze sférického trojúhelníku však neznáme (pokud známe lokaci pozorovatele a deklinaci) některé souřadnice a museli bychom si je vypočítat (např. pomocí výpočtů z minula) => musí existovat jednodušší cesta. Azimut jako takový ve sférickém trojúhelníku není, ale je zde doplněk k tomuto úhlu, nazvěme ho omega. A hledáme-li omegu, už počítat můžeme.
Využijeme tedy znovu věty o straně, tentokrát o straně p, kde ze známých hodnot:
Vypočteme:
Snadno si zjednodušíme život tím, že první člen víme, že bude nulový (cos 90 ° je nula), čili nám zbyde pouze druhá část:
A z toho už omegu vyjádříme velmi snadno:
A nesmíme zapomenout omegu odečíst od 180 ° (omega je pouze doplňkový úhel!) 😉 Azimut je na světě 😉
V tomto příspěvku se postupně budou objevovat všechny přednášky k předmětu CBG/GEO, které pořídím. Doufám, že se v mém písmu dokážete nějak rozumně vyznat 😀
Galerie je klasicky klikací, pokud byste daný obrázek chtěli vidět v „plné kráse“, stačí dole kliknout na „Download in high resolution“ 😉
Jak bylo slíbeno, na cvičení jsme počítali délku světlého dne, poté čas východu a západu Slunce. Pojďme na to 🙂
Co je to vlastně „světlá délka dne“? Logicky to je vlastně doba, kdy je nad obzorem vidět Slunce. Vyjdeme tak z kosinovy věty o straně a namísto úhlu (výšky nad obzorem) dosadíme „nulu“ — čímž se nám výraz značně zjednoduší a získáme tím krásě potřebnou dobu.
Budeme tedy počítat hodinový úhel t a vyjádříme si jeho dvojnásobek (pokud je doba t čas od kulminace k západu a současně čas od východu ke kulminaci…)
První předpoklad tedy je, že světlá doba dne se vypočte jako:
kde t je hodinový úhel a T je právě světlá doba dne. Teď už nám tedy stačí spočítat (pro dané zeměpisné souřadnice) právě hodinový úhel při západu (či východu) slunce.
Vyjděme ze základních souřadnic:
Zeměpisná šířka: 50° (tedy Praha)
Deklinace daný den: ‑8°
Nejprve tedy spočteme zenitovou vzdálenost (vzdálenost od zenitu):
To je prosté, protože v době západu či východu je prostě úhel 90 stupňů 🙂 Podle kosínové věty pro sférický trojúhelník opět můžeme určit, že:
čili jsme schopni vyjádřit:
Proč tak jednoduše? Pokud víme, že měříme dobu do západu slunce (či od východu) k poledni, tíme, že kosínus 90 je nula. Čili se nám to krásně zjednoduší.
Po dosazení hodnot jednoduše tedy t = 80°27′, čili 5 hodin, 21 minut a 48 sekund. Délka světlého dne je tedy 10 hodin, 43 minut a 36 sekund.
V dnešní přednášce z KGE/MG se to jen hemžilo novými pojmy, proměnnými a výrazy, takže dokud to mám v hlavě…
Po drobném „nálevu“ různých termínů se pusťme do dalších — tentokrát různých souřadnic. Začnněme těmi, na které má vliv poloha pozorovatele:
Nyní trochu teoreticky k výpočtům. Stejně jako na kouli používáme sférický trojúhelník, i zde používáme sférický trojúhelník, který je zobrazen na kulové ploše nebeské sféry. Tento trojúhelník je veden mezi severním světovým pólem, zenitem a pozorovaným objektem.
Vzdálenost mezi objektem a světovým severním pólem značíme jako pólová vzdálenost (jedná se o tutéž pólovou vzdálenost, o které píšu výše), vzdálenost mezi zenitem a objektem jako zenitová vzdálenost.
Po pondělním cvičení sepíšu i něco o výpočtech v tomto trojúhelníku.
Na dalším cvičení jsme dělali (resp. pokračovali) s dalšími výpočty na kouli (referenční kouli nahrazující Zemi).
Můžeme rozdělit na takové základní 3 případy:
Budeme dále počítat, že pokud se body nachází např. na stejné rovnoběžce, bude i vzdálenost těchto bodů vedena po rovnoběžce, tedy ne nejkratší vzdáleností. Totéž platí i o poledníku. V případě výpočtů s obecnými body protneme body hlavní kružnici a tím docílíme výpočtu po nejkratší trase. Zpětně pak zkusíme vypočítat stejný příklad a porovnat rozdíly.
Pro výpočet vzdálenosti po rovnoběčce platí vztah:
Počítáme-li tedy např. s Prahou (na 50. rovnoběžce, 14° vých. délky) a pobřežím v USA (resp. už Kanady) s délkou ‑56 °, potom dostaneme:
Zde je situace mnohem jednodušší, protože poledníky jsou všechny stejně dlouhé a počítáme pouze část kružnice.
Tedy např. pro Prahu a bod, který se nachází na rovníku platí:
Jak jsem uvedl v úvodu, je potřeba těmito body protnout hlavní kružnici, po které jsou vzdálenosti nejkratší. Využijeme kosínovy věty o straně na sférickém trojúhelníku mezi těmito dvěma body a severním pólem.
kde gamma odpovídá rozdílu délek. Za a a b dosadíme „úhlová vzdálenost od pólu“. To je vzdálenost (ve stupních) od pólu. Např. 50. rovnoběžka je 90–50, tedy 40 stupňů. např. pro náš výpočet, který jsme provedli pro vzdálenost Prahy a pobřeží kanady platí:
To nám však k ničemu moc nepomůže, máme akorát kosínus daného čísla — vynásobíme proto R a převedeme na úhel (tedy arcosinus) a vyjde nám:
Jak vidíme, rozdíl je téměř 200 km! Této nejkratší cestě říkáme „po ortodromě“, kde ortodroma je nejkratší vzdálenost po kouli mezi dvěma body.
V nedaleké budoucnosti sem na web hodím ještě odkaz na jednoduchý výpočtový skript, který tyto věci počítá (např. pro kontrolu, když se učíte na test).
Edit: Nedaleká budoucnost nastala, tady je skript na výpočet, snad funguje dobře a spolehlivě 😉 Zdrojový kód si můžete stáhnout z tohoto odkazu, soubor coordinates.zip. Na výpočet můžete přímo odkázat jako na adresu, takže můžete své výpočty klidně sdílet 😉 😉
Dnes proběhlo první cvičení (resp. seminář) z předmětu KGE/MG, matematická geografie. Cílem cvičení bylo představit a odvodit 4 základní vzorce pro výpočty na kouli.
Než začneme, určitě nebude od věci říci, že výpočty provádíme na referenční kouli (nikoliv geoidu, to bychom se zbláznili 🙂 ) a pak se hodí také představit proměnné, které se budeme používat:
Rovnoběžky jsou obyčejné kruhy, jejichž poloměr je různý se zeměpisnou šířkou. Z toho se musí i vycházet. Nejdelší rovnoběžkou je rovník, nultý stupeň. Limitně nejkratší je pól, kde délka limitně dosahuje délky 0. Vzorec pro výpočet délky:
Při výpočtu si dejte bacha na sčítání a odečítání souřadnic (resp. úhlů), protože jasné, že pokud mám 20 a ‑10, bude rozdíl 30 stupňů a ne 10 😉 😉
Poledník je klasická půlkružnice, která má na referenční kouli stejnou délku jako půl rovníku. Výpočet délky je tedy velmi podobný, obecně tedy:
Plochou zeměpisné sítě rozumíme výseč ohraničená dvěmi rovnoběžkami a dvěma poledníky. Tedy:
Jednoduše se jedná (jak je z názvu jasné) o výpočet plochy, kterou je schopen pozorovatel vidět z určité výšky nad koulí.
a můžeme tedy v klidu tvrdit, že
a tohoto (a těchto obecně) vztahů použít pro výpočet plochy, vzdálenosti vidění atd.