Archiv pro rubriku: Materiály

MMM1 — pondělní test (poslední ukázkový příklad s vektory)

Zde uvá­dím posled­ní pří­klad s vek­to­ry. Snad tam nebu­dou chy­by 😉 Jinak ten­to člá­nek nava­zu­je na člá­nek o 2. tes­tu z MMM1, kte­rý se zde též nachá­zí.

Nej­pr­ve musí­me určit, zda-li jsou vek­to­ry line­ár­ně závis­lé. To zjis­tí­me vel­mi snad­no tím, že vek­to­ry „vecpe­me“ do mati­ce, polo­ží­me rov­nou nulo­vé­mu vek­to­ru a pro­ve­de­me nad mno­ži­nou eli­mi­na­ci:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ -1 & 5 & 2 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}

\thicksim

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Tady vidí­me, že se nám „vyru­šil“ posled­ní řádek, čímž jsme zjis­ti­li odpo­věď na otáz­ku line­ár­ní závis­los­ti — vek­to­ry jsou závis­lé. Nu ale bude­me pokra­čo­vat. Zba­ví­me se ješ­tě něja­kých čísel, nejdří­ve ale vydě­lí­me 2. řádek troj­kou, abychom dosta­li jed­nič­ky a měli „to jed­no­duš­ší“. Vyjde tedy:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Nu a teď jed­no­du­še může­me od 1. řád­ku ode­číst 2. řádek, abychom dosta­li nulu v posled­ním sloup­ci v prv­ním řád­ku.:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -3 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0\end{pmatrix}

Může­me tedy tvr­dit, že:

a_1 - 3a_2 = 0

a_2 + a_3 = 0

a_3 = k

A pak samo­zřej­mě pou­ze dosa­dit, tak­že:

a_2 = -k

a_1 = -3k

Netri­vi­ál­ní řeše­ní tedy máme jako vek­tor:

(-3k, -k, k)

A to je celé, tády­dá­dy­dá 😉

MMM1 pondělní test

Ahoj všem, dávám sem (ale­spoň někte­ré) řeše­né úlo­hy, kte­ré budou (ze vzo­ro­vé­ho tes­tu, kte­rý je dole pod pří­spěv­kem při­lo­žen). A kdy­bys­te mi tu našli něja­kou nesrov­na­lost, chy­bu, špat­nej postup — tak mi halv­ně dej­te vědět 😉 😉

Určete obor pravdivosti nerovnice:

Jed­ná se o nerov­ni­ci:

\frac{|x-2|}{(2x+5)x} \leq 0

Ze vše­ho nejdří­ve je potře­ba si uvě­do­mit, že se jed­ná o výpo­čet s abso­lut­ní hod­no­tou. Pří­klad pro­to roz­dě­lí­me na dvě čás­ti — na část, kdy „věc“ v abso­lut­ní hod­no­tě je klad­ná (a abso­lut­ní hod­no­tu tedy sluš­ně igno­ru­je­me) a na situ­a­ci, kdy před­po­klá­dá­me, že „věc“ v abso­lut­ní hod­no­tě je zápor­ná. Naštěs­tí pro nás máme pou­ze jed­nu abso­lut­ní hod­no­tu, jinak bychom muse­li určit tuto pro všech­ny abso­lut­ní hod­no­ty.

Prv­ní situ­a­ce — před­po­klá­dá­me klad­nou hod­no­tu v abs. hod­no­tě:

Bude­me tedy abs. hod­no­tu igno­ro­vat: (s klad­ným čís­lem abs() nic neu­dě­lá, tak­že jako by tam neby­la…)

\frac{x-2}{(2x+5)x} \leq 0

a vyře­ší­me situ­a­ci, pro kte­rá x daná věc pla­tí. Jeden bod vidí­me hned, a to sice „nulo­vý“ — chce­me-li mít zlo­mek nulo­vý, sta­čí čita­tel nulo­vý. Potom pro:

x-2=0, -x+2 = 0

tak­že

x=2

Dělí­cím“ bodem je tedy x=2, čili teď bude­me roz­ho­do­vat na „klad­nost“ pod­le toho, jest­li x<2, ane­bo x>2 a pak vyře­ší­me pro kaž­dou oblast zvlášť. Tyto oblas­ti spo­jí­me sjed­no­ce­ním, pro­to­že pla­tí, že pla­tí pro něja­kou část jed­no řeše­ní a pro něja­kou část dal­ší řeše­ní.

Vez­mě­me to tedy pěk­ně zpra­va — pokud je tedy x>2. Pokud tedy tuto pla­tí, je i výraz v abs. hod­no­tě vždy klad­ný a potom píše­me:

\frac{x-2}{(2x+5)x} < 0

Pokud hle­dá­me zlo­mek (podíl), kte­rý má být men­ší nule (zápor­ný), potom musí být čita­tel klad­ný a jme­no­va­tel zápor­ný ane­bo nao­pak. Musí­me zde tedy roz­dě­lit řeše­ní na dvě pod­čás­ti:

Nej­pr­ve vari­an­ta klad­ný čita­tel a zápor­ný jme­no­va­tel:

x-2 > 0

x>2

A pro jme­no­va­tel:

(2x+5)x < 0

Výraz odpo­ví­dá kon­vex­ní para­bo­le, jejíž koře­ny jsou −5÷2 a 0. Zápor­ná se nachá­zí jen mezi těmi­to body, čili pla­tí, že:

-5/2 < x < 0

Obě řeše­ní musí pla­tit sou­čas­ně, čili tato vari­an­ta nemá řeše­ní. Jupí. Jde­me na dru­hou mož­nost — zápor­ný čita­tel a klad­ný jme­no­va­tel.

Pro čita­tel tedy:

x-2<0

x<2

Hod­no­ta čita­te­le tedy vyšla x<2, nicmé­ně řeší­me even­tu­a­li­tu, kdy x musí být vět­ší 2, čili nee­xis­tu­je prů­nik těch­to dvou mno­žin a řeše­ní opět nee­xis­tu­je (dru­hou část ani řešit nemu­sí­me). Jupí podru­hé 😉

Nyní zbý­vá jen jed­no­du­še spo­čí­tat totéž ale pro opač­nou hod­no­tu výra­zu v abso­lut­ní hod­no­tě. Tedy pro x<2.

Nej­pr­ve pro klad­ný čita­tel a zápor­ný jme­no­va­tel:

Pro čita­tel tedy:

-x+2 > 2

x<2

Pro jme­no­va­tel:

(2x+5)x < 0

Což je totéž, co před tím. Tedy inter­val (−5÷2; 0). Pokud má ten­to inter­val pla­tit sou­čas­ně s x<2, zby­de jen ten­to inter­val, tedy (-5/2;0). Máme něja­kou prv­ní hod­no­tu, výbor­ně 😉

No a na konec pro zápor­ný čita­tel a klad­ný jme­no­va­tel.

Zápor­ný čita­tel:

-x+2<0

x>2

No a stej­ně jako o pár vzo­reč­ků výše, toto nedá žád­né řeše­ní, čili hoto­vo. 😉

Co nám tedy zby­lo — pou­ze inter­val (-5/2;0). Nicmé­ně nesmí­me zapo­me­nout, že v zadá­ní bylo „men­ší nebo rov­no nule“ — a pro nulu jsme spo­čí­ta­li, že se jed­ná o bod „2“. Celé řeše­ní je tedy sjed­no­ce­ním (jak jsem psal výše) těch­to hod­not a inter­va­lů: Tedy:

x \in (-\frac{5}{2}; 0) \cup {2}

Neza­po­meň­te, že závor­ky jsou kula­té — počí­ta­li jsme pro „men­ší než“ a sle­pi­li to nako­nec s hod­no­tou pro „rov­no“ 😉

Řešení rovnice s kombinačními čísly:

Tady je to vel­mi jed­no­du­ché. Je tře­ba si uvě­do­mit základ­ní „vzo­re­ček“ pro výpo­čet kom­bi­nač­ní­ho čís­la:

{{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Čili jed­no­du­še pro zadá­ní:

2{{x-1}\choose{2}}-2 = 2{{x}\choose{3}}

2 \frac{(x-1)!}{2!(x-1-2)!}-2 = 2 \frac{x!}{3!(x-3)!}

Tak­že teď se jen tri­vi­ál­ně zba­vit fak­to­ri­á­lů:

2 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2!(x-3)!}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3!(x-3)!}

Poškr­tá­me, co jde, fak­to­ri­á­ly čísel pře­ve­de­me na obyč čís­la:

2 \frac{(x-1)(x-2)}{2}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)}{6}

Nu a tohle už bychom měli snad­no vyře­šit:

(x-1)(x-2)-2 = \frac{x(x-1)(x-2)}{3}

x^2-3x+2 - 2 = \frac{1}{3} x (x^2-3x+2)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3-3x^2+2x)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3) - x^2+\frac{2}{3}x

-\frac{1}{3}(x^3) +x^2 + x^2 -3x -\frac{2}{3}x = 0

-\frac{1}{3}(x^3) +2x^2 -\frac{11}{3}x = 0

-x(\frac{1}{3}(x^2) +2x -\frac{11}{3}) = 0

Tady rov­nou vidí­me mož­nost tří koře­nů. Jede je auto­ma­tic­ky hned x=0, to je jas­né. Dal­ší koře­ny však vyjdou kom­plex­ně, čili koře­ny neře­ším (zadá­ní je v obo­ru přir. čísel) 😉 Řeše­ní je tedy x=0 😉 FFFUUU! 😉

Určete graficky komp. čísla z, která jsou řešením soustavy nerovnic:

\mathrm{Re}~z > \mathrm{Im}~z

|z| < 1

Řeše­ní je oprav­du pros­té. Nakres­lí­me si reál­nou a ima­gi­nár­ní osu a zjis­tí­me, pro kte­ré reál­né koe­fi­ci­en­ty pla­tí, že jsou vět­ší, než ima­gi­nár­ní:

re_im_všechno

Pokud omlu­ví­te mé umě­lec­ké schop­nos­ti v malo­vá­ní tedy 😀 Ale jak vidí­te, je to jas­né — všec­ko, co je pod čarou (!! bacha, bez čáry, má to být men­ší a ne men­ší nebo rov­no !!) a i co je pod osou X, pros­tě „všu­de dole“ už, vyho­vu­je prv­ní rov­ni­ci.

Zapra­cu­je­me na dru­hé rov­ni­ci — ta nám říká, že máme vybrat pou­ze hod­no­ty pro abso­lut­ní hod­no­tu men­ší, než „1“. Bude to tedy krou­žek o polo­mě­ru „1“ kolem bodu [0, 0]. A řeše­ním je to, co se nachá­zí v prů­ni­ku toho­to krouž­ku (bez okra­je, má být men­ší, než 1!) a této oblas­ti pod čarou, tedy něco jako zde, vše co je zele­né bez oran­žo­vé je vlast­ně výsle­dek 😉

re_im_ořez

Nu a vek­to­ry (pos­len­dí pří­klad) budu řešit až v nedě­li (dnes), tak­že oče­ká­vej­te, pokud to někdo sle­du­je­te, něja­ké řeše­ní 😉 Zatím 😉

Tož vek­to­ry jsou vyře­še­né, avšak v samo­stat­ném člán­ku 😉

[wpba-atta­chment-list]

FPV — řešený zkouškový test A

Řeše­ní (a proč je to tak řeše­no) zkouš­ko­vé­ho tes­tu A z FPV:

1. Fyzikální rozměr jednotky momentu síly je:

a) kg*m2*s-2 b) kg2*m*s-2 c) kg*m*s-2 d) kg2*m3

Důvod je jas­ný — jed­not­ka momen­tu síly je Nm (New­ton metr). 1 N je síla půso­bí­cí těle­sem 1 kg při zrych­le­ní 1 m s^-2. Fyzi­kál­ní roz­měr jed­no­ho N je tedy kg m s^-2. N m má tedy roz­měr kg m^2 s^-2.

2. Který z následujících převodů jednotek je chybně?

a) 0,12 m2 = 1200 cm2  b) 3,9 l = 3900 cm3 c) 0,124 m3 = 124 l  d) 4150 mm2 = 4,15 dm2

Tady je řeše­ní opět jas­né, sta­čí jen pře­vá­dět správ­ně 😉

4. Jaký úhel spolu svírají tečné a normálové zrychlení při křivočarém pohybu hmotného bodu?

a) 0º b) 180 º c) 90º d) 30º

Opět jas­né — teč­na a nor­má­la sví­rá pros­tě 90° 😉

5. Srazí se dva přímo proti sobě jedoucí vozíky, z nichž první má hmotnost 2 kg a rychlost 35 m*s-1 a druhý hmotnost 5 kg a rychlost 14 m*s-1. Po srážce dojde ke spojení obou vozíků. Jaká je velikost rychlosti spojeného systému?

a) 20 m*s-1 b) 10 m*s-1 c) 0 m*s-1 d) 5 m*s-1

Jak tohle spo­číst? Jed­no­du­še — do rov­nos­ti dáme hyb­nos­ti:

m_1 v_1 = m_2 v_2

2 kg \cdot 35 ms^{-1} = 5 kg \cdot 14 ms^{-1}

a zjis­tí­me, že jsou stej­né. Výsled­ná hyb­nost je tedy:

p = p_2 - p_1 = 0

A z toho logic­ky vyplý­vá, že i výsled­ná rych­lost bude nulo­vá. Pokud by hyb­nos­ti nesou­hla­si­ly (při jiném zadá­ní hod­not), ode­čet­li bychom jed­no­du­še hyb­nos­ti od sebe a pokud zná­me hyb­nost výsled­né sou­sta­vy a cel­ko­vou hmot­nost sou­sta­vy (sou­čet díl­čích hmot­nos­tí), potom snad­no spo­čí­tá­me i výsled­nou rych­lost sou­sta­vy.

Pokud by tedy pří­klad byl zadán tak, že dru­hé (těž­ší) těle­so nepo­je­de 14, ale 15 metrů/​sekundu, pla­ti­lo by:

p = p_2 - p_1 = m_2 v_2 - m_1 v_1 = 15\cdot5 - 2\cdot35 = 5 {~} \mathrm{kg m s^{-1}}

Což je důkaz toho, že těle­so se bude pohy­bo­vat výsled­nou rych­los­tí odvo­ze­nou jako:

v = \frac{p}{m} = \frac{p}{m_1 + m_2} = \frac{5}{2+5} = \frac{5}{7} ~\mathrm{ms^{-1}}

6. V kterém z následujících případů musím k výpočtu práce nutně použít integrál?

a) vyta­ho­vá­ní cih­ly do výš­ky h v homo­gen­ním tího­vém poli bez odpo­ru vzdu­chu
b) pře­ko­ná­vá­ní stá­lé odpo­ro­vé síly vzdu­chu půso­bí­cí pro­ti smě­ru pohy­bu
c) pře­ko­ná­vá­ní stá­le odpo­ro­vé síly půso­bí­cí pod úhlem 30 stup­ňů na směr pohy­bu
d) pře­ko­ná­vá­ní pro­měn­né odpo­ro­vé síly půso­bí­cí pro­ti smě­ru pohy­bu

Tady je řeše­ní též evi­dent­ní. Pou­žít ho samo­zřej­mě může­me ve všech pří­pa­dech, ale pokud jde o musí­me, potom jedi­ně tam, kde máme růz­ně spo­ji­tě pro­měn­né síly, např. v uve­de­ném pří­pa­dě.

7. Podle 2. Keplerova zákona má Země při oběhu kolem Slunce největší rychlost v

a) peri­héliu, jež je nej­dál od Slun­ce b) peri­héliu, jež je neblíž ke Slunci
c) aféliu, jež je nej­dál od Slun­ce d) aféliu, jež je nej­blíž ke Slun­ci

Řeše­ní je evi­dent­ní; pod­le 2. Keple­ro­va záko­na je pohyb nej­rych­lej­ší tam, kde je k hmot­né­mu bodu těle­so nej­blí­že (prů­vo­dič musí opsat pořád stej­nou plo­chu).

8. Máme válec, kouli a obruč se stejnou hmotností a stejným poloměrem. Které z těchto těles bude mít největší moment setrvačnosti vůči ose symetrie tělesa?

a) válec b) obruč c) válec a obruč budou mít stej­ný a vět­ší než kou­le d) kou­le

Nej­vět­ší moment setr­vač­nos­ti má těle­so, kte­ré má co nej­ví­ce hmot­nos­ti „na kra­ji“ a co nejmé­ně „upro­střed“. A z uve­de­ných je to obruč.

Pro ten­to­krát toho nechá­me, poz­dě­ji dopl­ním dal­ší odpo­vě­di a řeše­ní pří­kla­dů.

Metoda Monte Carlo pro výpočet PI

Udě­lal jsem jed­no­du­chý skript na pou­ži­tí meto­dy „Mon­te Car­lo“, kte­rý přes náhod­ný výběr hod­not, kte­rá hází do čtver­ce, vybí­rá­me hod­no­ty, kte­ré jsou náhod­ně uvnitř vepsa­né­ho kru­hu. Čím vět­ší čís­lo dáte, tím blí­že se poměr hod­not bude blí­žit čtvr­ti­ně pí. Pokud zadá­te čís­la kolem 100 000, už bude skript chvil­ku počí­tat, tak se nediv­te 😉

Odkaz na skript 😉

KGE/​MG — Kde vychází a zapadá Slunce?

Dal­ším podob­ným pří­kla­dem, jako zjiš­tě­ní kdy zapa­dá Slun­ce, je zjiš­tě­ní mís­ta (tedy azi­mu­tu) Slun­ce, kte­ré ako­rát vyjde.

Vyjde­me z vel­mi podob­ných pod­mí­nek, jako minu­le — výš­ka Slun­ce nad obzo­rem při výcho­du je opět 0°, čímž se nám výpo­čet vel­mi zjed­no­du­ší. Azi­mut je úhel, kte­rý sví­rá přím­ka vede­na pozo­ro­va­te­lem a mís­tem věci, kte­rou pozo­ru­je­me s rovi­nou pozo­ro­va­te­le a již­ní­ho bodu (azi­mut 0°). Pokud Slun­ce zapa­dá, bude mít klad­ný azi­mut, pokud vychá­zí, buď zápor­ný ane­bo „oko­lo“ kolem 270°.

Ze sfé­ric­ké­ho troj­ú­hel­ní­ku však nezná­me (pokud zná­me loka­ci pozo­ro­va­te­le a dekli­na­ci) někte­ré sou­řad­ni­ce a muse­li bychom si je vypo­čí­tat (např. pomo­cí výpo­čtů z minu­la) => musí exis­to­vat jed­no­duš­ší ces­ta. Azi­mut jako tako­vý ve sfé­ric­kém troj­ú­hel­ní­ku není, ale je zde dopl­něk k tomu­to úhlu, nazvě­me ho ome­ga. A hle­dá­me-li ome­gu, už počí­tat může­me.

Vyu­ži­je­me tedy zno­vu věty o stra­ně, ten­to­krát o stra­ně p, kde ze zná­mých hod­not:

p = 90-\delta
z=90
90-\phi

Vypoč­te­me:

\cos p = \cos z \cos (90-\phi) + \sin z \sin (90-\phi) \cos \omega

Snad­no si zjed­no­du­ší­me život tím, že prv­ní člen víme, že bude nulo­vý (cos 90 ° je nula), čili nám zby­de pou­ze dru­há část:

\cos p = \sin z \sin (90-\phi) \cos \omega

A z toho už ome­gu vyjá­d­ří­me vel­mi snad­no:

\omega = \arccos \frac{\cos p}{\sin z \sin (90-\phi)}

A nesmí­me zapo­me­nout ome­gu ode­číst od 180 ° (ome­ga je pou­ze doplň­ko­vý úhel!) 😉 Azi­mut je na svě­tě 😉

CBG/​GEO — Přednášky

V tom­to pří­spěv­ku se postup­ně budou obje­vo­vat všech­ny před­náš­ky k před­mě­tu CBG/​GEO, kte­ré poří­dím. Dou­fám, že se v mém pís­mu doká­že­te nějak rozum­ně vyznat 😀

Gale­rie je kla­sic­ky kli­ka­cí, pokud bys­te daný obrá­zek chtě­li vidět v „plné krá­se“, sta­čí dole klik­nout na „Down­lo­ad in high reso­lu­ti­on“ 😉

KGE/​MG — Výpočet světlé délky dne a kdy vyjde a zapadne slunce

Jak bylo slí­be­no, na cvi­če­ní jsme počí­ta­li dél­ku svět­lé­ho dne, poté čas výcho­du a zápa­du Slun­ce. Pojď­me na to 🙂

Výpočet světlé délky dne

Co je to vlast­ně „svět­lá dél­ka dne“? Logic­ky to je vlast­ně doba, kdy je nad obzo­rem vidět Slun­ce. Vyjde­me tak z kosi­no­vy věty o stra­ně a namís­to úhlu (výš­ky nad obzo­rem) dosa­dí­me „nulu“ — čímž se nám výraz znač­ně zjed­no­du­ší a zís­ká­me tím krá­sě potřeb­nou dobu.

Bude­me tedy počí­tat hodi­no­vý úhel t a vyjá­d­ří­me si jeho dvoj­ná­so­bek (pokud je doba t čas od kul­mi­na­ce k zápa­du a sou­čas­ně čas od výcho­du ke kul­mi­na­ci…)

Prv­ní před­po­klad tedy je, že svět­lá doba dne se vypoč­te jako:

T=2t

kde t je hodi­no­vý úhel a T je prá­vě svět­lá doba dne. Teď už nám tedy sta­čí spo­čí­tat (pro dané země­pis­né sou­řad­ni­ce) prá­vě hodi­no­vý úhel při zápa­du (či výcho­du) slun­ce.

Vyjdě­me ze základ­ních sou­řad­nic:

Země­pis­ná šíř­ka: 50° (tedy Pra­ha)
Dekli­na­ce daný den: -8°

Nej­pr­ve tedy spoč­te­me zeni­to­vou vzdá­le­nost (vzdá­le­nost od zeni­tu):

z=90^\circ-h=90^\circ

To je pros­té, pro­to­že v době zápa­du či výcho­du je pros­tě úhel 90 stup­ňů 🙂 Pod­le kosí­no­vé věty pro sfé­ric­ký troj­ú­hel­ník opět může­me určit, že:

\cos z = \cos p \cos (90-\phi) + \sin p \sin (90-\phi) \cos t

čili jsme schop­ni vyjá­d­řit:

\cos t = - \frac{\cos p \cos (90-\phi)}{\sin p \sin (90-\phi)}

Proč tak jed­no­du­še? Pokud víme, že měří­me dobu do zápa­du slun­ce (či od výcho­du) k poled­ni, tíme, že kosí­nus 90 je nula. Čili se nám to krás­ně zjed­no­du­ší.

Po dosa­ze­ní hod­not jed­no­du­še tedy t = 80°27, čili 5 hodin, 21 minut a 48 sekund. Dél­ka svět­lé­ho dne je tedy 10 hodin, 43 minut a 36 sekund.

KGE/​MG — Astronomické souřadnice

V dneš­ní před­náš­ce z KGE/​MG se to jen hem­ži­lo nový­mi pojmy, pro­měn­ný­mi a výra­zy, tak­že dokud to mám v hla­vě…

Základní pojmy

  • Nebeská sfé­ra: Jed­ná se o kulo­vou plo­chu nebo někdy jen polo­kou­li, v jejímž stře­du sto­jí pozo­ro­va­tel (nachá­ze­jí­cí se na povrchu Země) díva­jí­cí se na noč­ní oblo­hu a do kte­ré se pro­mí­tá pohyb všech vidi­tel­ný těles vesmí­ru.
  • Rovi­na eklip­ti­ky: Eklip­ti­ka je prů­seč­ni­ce, v níž rovi­na dráhy Země kolem Slun­ce pro­tí­ná nebeskou sfé­ru. Rovi­na eklip­ti­ky je tedy rovi­na tou­to kruž­ni­cí pro­lo­že­ná.
  • Svě­to­vý sever­ní a již­ný pól: Jed­ná se o body, kte­ré leží na pro­ta­že­né zem­ské ose a nebes­ké sfé­ře (v bodě prů­se­čí­ku).
  • Svě­to­vý rov­ník: Jed­ná se o prů­se­čík rovi­ny zem­ské­ho rov­ní­ku s nebeskou sfé­rou.
  • Míst­ní poled­ník: Spoj­ni­ce sever­ní­ho a již­ní­ho zem­ské­ho pólu, kte­rá pro­chá­zí pozo­ro­va­te­lem.
  • Obzor­ník: Jed­ná se vlast­ně o hori­zont, tedy prů­se­čík s nebeskou sfé­rou, kte­rý nám roz­dě­lu­je pohled (pozo­ro­va­te­li tedy) na dvě čás­ti; jed­nu, kte­rou vidí a dru­hou, kte­rou nevi­dí (zákry­vem Země). Obzor­ník nám defi­nu­je ješ­tě dal­ší body — sever­ní, již­ní, západ­ní a východ­ní body obzo­ru, což jsou body, kte­ré leží v prů­se­čí­ku nebes­ké sfé­ry, obzor­ní­ku a rovi­ny míst­ní­ho poled­ní­ku. Tedy v mís­tě, kde se pozo­ro­va­te­li jeví sever, tak pro­mít­ne­me-li ho na nebeskou sfé­ru, tam je sever­ní bod obzo­ru atd.
  • Zenit, nadir: Nad­hlav­ník (a pod­hlav­ník) je mís­to pří­mo nad (či pod) hla­vou pozo­ro­va­te­le, tedy prů­se­čík přím­ky kol­mo k rovi­ně obzor­ní­ku a pozo­ro­va­te­le. Nadir nikdy nevi­dí­me, pro­to­že je pořád zakry­tý Zemí.
  • Meri­di­án: Prů­se­čík rovi­ny míst­ní­ho poled­ní­ku a nebes­ké sfé­ry.
  • Jar­ní a pod­zim­ní bod: Mís­ta, kam se Slun­ce pro­mít­ne, když nastá­vá ast­ro­no­mic­ké jaro (či pod­zim). Alter­na­tiv­ně též prů­se­čík rovi­ny eklip­ti­ky a svě­to­vé­ho rov­ní­ku.
  • Již­ní (sever­ní) bod svě­to­vé­ho rov­ní­ku: Bod v prů­se­čí­ku rovi­ny svě­to­vé­ho rov­ní­ku a nebes­ké sfé­ry.
Pojmy, astronomické souřadnice, zdroj: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Nebeska_sfera_pozorovatel.cs.svg
Pojmy a ast­ro­no­mic­ké sou­řad­ni­ce.
Zdroj obráz­ku: http://​uplo​ad​.wiki​me​dia​.org/​w​i​k​i​p​e​d​i​a​/​c​o​m​m​o​n​s​/​f​/​f​1​/​N​e​b​e​s​k​a​_​s​f​e​r​a​_​p​o​z​o​r​o​v​a​t​e​l​.​c​s​.​svg

Po drob­ném „nále­vu“ růz­ných ter­mí­nů se pusť­me do dal­ších — ten­to­krát růz­ných sou­řad­nic. Začn­ně­me těmi, na kte­ré má vliv polo­ha pozo­ro­va­te­le:

Součadnice s vlivem pozorovatele

  • Výš­ka (h): Jed­ná se o úhel, kte­rý sví­rá v rovi­ně vytknu­té pozo­ro­va­te­lem, daným objek­tem (např. hvězdou) a obzor­ní­kem (kol­mi­cí na něho). Je to tedy „výš­ka nad obzo­rem“.
  • Azi­mut (A): Azi­mut je úhel, kte­rý počí­tá­me od 0° do 360° ve smě­ru hodi­no­vých ruči­ček od rovi­ny míst­ní­ho poled­ní­ku smě­rem na Jih. Tedy v pra­vé poled­ne (zjed­no­du­še­ně) máme azi­mut slun­ce 0 °.

Souřadnice bez vlivu polohy pozorovatele

  • Dekli­na­ce: Dekli­na­ce je úhlo­vá vzdá­le­nost těle­sa sever­ně nebo již­ně od svě­to­vé­ho rov­ní­ku. Je klad­ná smě­rem k sever­ní­mu svě­to­vé­mu pólu a zápor­ná k již­ní­mu svě­to­vé­mu pólu. Dekli­na­ce je tedy vlast­ně podob­ná „výš­ce“ z před­cho­zí čás­ti tex­tu. Všech­na těle­sa mají stej­nou dekli­na­ci, až na Slun­ce, kte­ré je výjim­kou (z důvo­du zem­ské­ho obě­hu kolem něho), dekli­na­ce Slun­ce se tedy mění od -23,5°–23,5°.
  • Pólo­vá vzdá­le­nost: Dopl­něk do 90 ° od dekli­na­ce, podob­ně jako jsme pou­ží­va­li pólo­vou vzdá­le­nost od sever­ní­ho pólu v pří­spěv­ku o výpo­čtech na kou­li.
  • Rek­tascen­ze: Jed­ná se o úhel (zna­čen alfa) udá­va­ný v hodi­nách, kte­rý sví­rá rovi­na pro­chá­ze­jí­cí svě­to­vý­mi póly a nebeským těle­sem s rovi­nou pro­chá­ze­jí­cí svě­to­vý­mi póly a jar­ním bodem.
  • Hodi­no­vý úhel: Úhel (v hodi­nách opět) od již­ní­ho rov­ní­ko­vé­ho bodu k rovi­ně objek­tu. Pro Slun­ce počí­tá­me jako dobu od kul­mi­na­ce (od nej­vyš­ší­ho bodu během dne).

Nautický trojúhelník

Nyní tro­chu teo­re­tic­ky k výpo­čtům. Stej­ně jako na kou­li pou­ží­vá­me sfé­ric­ký troj­ú­hel­ník, i zde pou­ží­vá­me sfé­ric­ký troj­ú­hel­ník, kte­rý je zob­ra­zen na kulo­vé plo­še nebes­ké sfé­ry. Ten­to troj­ú­hel­ník je veden mezi sever­ním svě­to­vým pólem, zeni­tem a pozo­ro­va­ným objek­tem.

Vzdá­le­nost mezi objek­tem a svě­to­vým sever­ním pólem zna­čí­me jako pólo­vá vzdá­le­nost (jed­ná se o tutéž pólo­vou vzdá­le­nost, o kte­ré píšu výše), vzdá­le­nost mezi zeni­tem a objek­tem jako zeni­to­vá vzdá­le­nost.

Po pon­děl­ním cvi­če­ní sepíšu i něco o výpo­čtech v tom­to troj­ú­hel­ní­ku.

KGE/​MG — Další výpočty na kouli

Na dal­ším cvi­če­ní jsme děla­li (resp. pokra­čo­va­li) s dal­ší­mi výpo­čty na kou­li (refe­renč­ní kou­li nahra­zu­jí­cí Zemi).

Výpočty vzdáleností dvou bodů, pokud známe jejich zeměpisné souřadnice

Může­me roz­dě­lit na tako­vé základ­ní 3 pří­pa­dy:

  1. Body se nachá­zí na stej­né rov­no­běž­ce
  2. Body se nachá­zí na stej­ném poled­ní­ku
  3. Body se nachá­zí obec­ně

Bude­me dále počí­tat, že pokud se body nachá­zí např. na stej­né rov­no­běž­ce, bude i vzdá­le­nost těch­to bodů vede­na po rov­no­běž­ce, tedy ne nej­krat­ší vzdá­le­nos­tí. Totéž pla­tí i o poled­ní­ku. V pří­pa­dě výpo­čtů s obec­ný­mi body pro­tne­me body hlav­ní kruž­ni­ci a tím docí­lí­me výpo­čtu po nej­krat­ší tra­se. Zpět­ně pak zku­sí­me vypo­čí­tat stej­ný pří­klad a porov­nat roz­dí­ly.

Výpočet vzdáleností po rovnoběžce

Pro výpo­čet vzdá­le­nos­ti po rov­no­běč­ce pla­tí vztah:

x=\mathrm{R}\cos{\phi}\mathrm{arc} \Delta\lambda

Počí­tá­me-li tedy např. s Pra­hou (na 50. rov­no­běž­ce, 14° vých. dél­ky) a pobře­žím v USA (resp. už Kana­dy) s dél­kou -56 °, potom dosta­ne­me:

x=\mathrm{6371}\cos{50}\mathrm{arc} (14+56)=5003 \, \mathrm{km}

Výpočet vzdáleností po poledníku

Zde je situ­a­ce mno­hem jed­no­duš­ší, pro­to­že poled­ní­ky jsou všech­ny stej­ně dlou­hé a počí­tá­me pou­ze část kruž­ni­ce.

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arc}\Delta\phi

Tedy např. pro Pra­hu a bod, kte­rý se nachá­zí na rov­ní­ku pla­tí:

x=\mathrm{6371}\cdot\mathrm{arc}50=5560\,\mathrm{km}

Výpočet vzdáleností dvou obecných bodů

Jak jsem uve­dl v úvo­du, je potře­ba těmi­to body pro­tnout hlav­ní kruž­ni­ci, po kte­ré jsou vzdá­le­nos­ti nej­krat­ší. Vyu­ži­je­me kosí­no­vy věty o stra­ně na sfé­ric­kém troj­ú­hel­ní­ku mezi těmi­to dvě­ma body a sever­ním pólem.

\cos{v}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\cos{\gamma}

kde gam­ma odpo­ví­dá roz­dí­lu délek. Za a a b dosa­dí­me úhlo­vá vzdá­le­nost od pólu“. To je vzdá­le­nost (ve stup­ních) od pólu. Např. 50. rov­no­běž­ka je 9050, tedy 40 stup­ňů. např. pro náš výpo­čet, kte­rý jsme pro­ved­li pro vzdá­le­nost Pra­hy a pobře­ží kana­dy pla­tí:

V=\cos{v}=\cos{40}\cos{40}+\sin{40}\sin{40}\cos{(14+56)}=0.728138

To nám však k niče­mu moc nepo­mů­že, máme ako­rát kosí­nus dané­ho čís­la — vyná­so­bí­me pro­to R a pře­ve­de­me na úhel (tedy arco­si­nus) a vyjde nám:

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arcos}\mathrm{V}=4811\,\mathrm{km}

Jak vidí­me, roz­díl je téměř 200 km! Této nej­krat­ší ces­tě říká­me „po orto­dro­mě“, kde orto­dro­ma je nej­krat­ší vzdá­le­nost po kou­li mezi dvě­ma body.

V neda­le­ké budouc­nos­ti sem na web hodím ješ­tě odkaz na jed­no­du­chý výpo­čto­vý skript, kte­rý tyto věci počí­tá (např. pro kon­t­ro­lu, když se učí­te na test).

Edit: Neda­le­ká budouc­nost nasta­la, tady je skript na výpo­čet, snad fun­gu­je dob­ře a spo­leh­li­vě 😉 Zdro­jo­vý kód si může­te stáh­nout z toho­to odka­zu, sou­bor coor​di​na​tes​.zip. Na výpo­čet může­te pří­mo odká­zat jako na adre­su, tak­že může­te své výpo­čty klid­ně sdí­let 😉 😉

KGE/​MG — 1. cvičení — výpočty na kouli

Dnes pro­běh­lo prv­ní cvi­če­ní (resp. semi­nář) z před­mě­tu KGE/​MG, mate­ma­tic­ká geo­gra­fie. Cílem cvi­če­ní bylo před­sta­vit a odvo­dit 4 základ­ní vzor­ce pro výpo­čty na kou­li.

Proměnné, které se budou hodit:

Než začne­me, urči­tě nebu­de od věci říci, že výpo­čty pro­vá­dí­me na refe­renč­ní kou­li (niko­liv geo­i­du, to bychom se zbláz­ni­li 🙂 ) a pak se hodí také před­sta­vit pro­měn­né, kte­ré se bude­me pou­ží­vat:

  • \phi: úhel (ve stup­ních) země­pis­né šíř­ky. Např. Pra­ha je kolem 50. stup­ně.
  • \mathrm{R}: polo­měr Země (6371 km)
  • \lambda: úhel (ve stup­ních) země­pis­né dél­ky.

Výpočet délky rovnoběžky (či její části)

Rov­no­běž­ky jsou oby­čej­né kru­hy, jejichž polo­měr je růz­ný se země­pis­nou šíř­kou. Z toho se musí i vychá­zet. Nejdel­ší rov­no­běž­kou je rov­ník, nul­tý stu­peň. Limit­ně nej­krat­ší je pól, kde dél­ka limit­ně dosa­hu­je dél­ky 0. Vzo­rec pro výpo­čet dél­ky:

d_{r \phi} =\mathrm{R}\cos\phi\mathrm{arc}(\Delta\lambda)

Při výpo­čtu si dej­te bacha na sčí­tá­ní a ode­čí­tá­ní sou­řad­nic (resp. úhlů), pro­to­že jas­né, že pokud mám 20 a -10, bude roz­díl 30 stup­ňů a ne 10 😉 😉

Výpočet délky poledníku

Poled­ník je kla­sic­ká půl­kruž­ni­ce, kte­rá má na refe­renč­ní kou­li stej­nou dél­ku jako půl rov­ní­ku. Výpo­čet dél­ky je tedy vel­mi podob­ný, obec­ně tedy:

d = \mathrm{R}\cos{0} \mathrm{arc}180 = \pi\mathrm{R}

Plocha zeměpisné sítě

Plo­chou země­pis­né sítě rozu­mí­me výseč ohra­ni­če­ná dvě­mi rov­no­běž­ka­mi a dvě­ma poled­ní­ky. Tedy:

S = R^2\mathrm{arc}(\Delta\phi)(\sin\phi_1-\sin\phi_2)

Výpočet viditelného horizontu

Jed­no­du­še se jed­ná (jak je z názvu jas­né) o výpo­čet plo­chy, kte­rou je scho­pen pozo­ro­va­tel vidět z urči­té výš­ky nad kou­lí.

S=\pi d^2

S=2\pi\mathrm{R}h

a může­me tedy v kli­du tvr­dit, že

\pi d^2 = 2\pi\mathrm{R}h

a toho­to (a těch­to obec­ně) vzta­hů pou­žít pro výpo­čet plo­chy, vzdá­le­nos­ti vidě­ní atd.