Archiv pro rubriku: Materiály

MMM1 -- pondělní test (poslední ukázkový příklad s vektory)

Zde uvádím poslední příklad s vektory. Snad tam nebudou chyby 😉 Jinak tento článek navazuje na článek o 2. testu z MMM1, který se zde též nachází.

Nejprve musíme určit, zda-li jsou vektory lineárně závislé. To zjistíme velmi snadno tím, že vektory "vecpeme" do matice, položíme rovnou nulovému vektoru a provedeme nad množinou eliminaci:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ -1 & 5 & 2 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}

\thicksim

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Tady vidíme, že se nám "vyrušil" poslední řádek, čímž jsme zjistili odpověď na otázku lineární závislosti -- vektory jsou závislé. Nu ale budeme pokračovat. Zbavíme se ještě nějakých čísel, nejdříve ale vydělíme 2. řádek trojkou, abychom dostali jedničky a měli "to jednodušší". Vyjde tedy:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Nu a teď jednoduše můžeme od 1. řádku odečíst 2. řádek, abychom dostali nulu v posledním sloupci v prvním řádku.:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -3 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0\end{pmatrix}

Můžeme tedy tvrdit, že:

a_1 - 3a_2 = 0

a_2 + a_3 = 0

a_3 = k

A pak samozřejmě pouze dosadit, takže:

a_2 = -k

a_1 = -3k

Netriviální řešení tedy máme jako vektor:

(-3k, -k, k)

A to je celé, tádydádydá 😉

MMM1 pondělní test

Ahoj všem, dávám sem (alespoň některé) řešené úlohy, které budou (ze vzorového testu, který je dole pod příspěvkem přiložen). A kdybyste mi tu našli nějakou nesrovnalost, chybu, špatnej postup -- tak mi halvně dejte vědět 😉 😉

Určete obor pravdivosti nerovnice:

Jedná se o nerovnici:

\frac{|x-2|}{(2x+5)x} \leq 0

Ze všeho nejdříve je potřeba si uvědomit, že se jedná o výpočet s absolutní hodnotou. Příklad proto rozdělíme na dvě části -- na část, kdy "věc" v absolutní hodnotě je kladná (a absolutní hodnotu tedy slušně ignorujeme) a na situaci, kdy předpokládáme, že "věc" v absolutní hodnotě je záporná. Naštěstí pro nás máme pouze jednu absolutní hodnotu, jinak bychom museli určit tuto pro všechny absolutní hodnoty.

První situace -- předpokládáme kladnou hodnotu v abs. hodnotě:

Budeme tedy abs. hodnotu ignorovat: (s kladným číslem abs() nic neudělá, takže jako by tam nebyla...)

\frac{x-2}{(2x+5)x} \leq 0

a vyřešíme situaci, pro která x daná věc platí. Jeden bod vidíme hned, a to sice "nulový" -- chceme-li mít zlomek nulový, stačí čitatel nulový. Potom pro:

x-2=0, -x+2 = 0

takže

x=2

"Dělícím" bodem je tedy x=2, čili teď budeme rozhodovat na "kladnost" podle toho, jestli x<2, anebo x>2 a pak vyřešíme pro každou oblast zvlášť. Tyto oblasti spojíme sjednocením, protože platí, že platí pro nějakou část jedno řešení a pro nějakou část další řešení.

Vezměme to tedy pěkně zprava -- pokud je tedy x>2. Pokud tedy tuto platí, je i výraz v abs. hodnotě vždy kladný a potom píšeme:

\frac{x-2}{(2x+5)x} < 0

Pokud hledáme zlomek (podíl), který má být menší nule (záporný), potom musí být čitatel kladný a jmenovatel záporný anebo naopak. Musíme zde tedy rozdělit řešení na dvě podčásti:

Nejprve varianta kladný čitatel a záporný jmenovatel:

x-2 > 0

x>2

A pro jmenovatel:

(2x+5)x < 0

Výraz odpovídá konvexní parabole, jejíž kořeny jsou -5/2 a 0. Záporná se nachází jen mezi těmito body, čili platí, že:

-5/2 < x < 0

Obě řešení musí platit současně, čili tato varianta nemá řešení. Jupí. Jdeme na druhou možnost -- záporný čitatel a kladný jmenovatel.

Pro čitatel tedy:

x-2<0

x<2

Hodnota čitatele tedy vyšla x<2, nicméně řešíme eventualitu, kdy x musí být větší 2, čili neexistuje průnik těchto dvou množin a řešení opět neexistuje (druhou část ani řešit nemusíme). Jupí podruhé 😉

Nyní zbývá jen jednoduše spočítat totéž ale pro opačnou hodnotu výrazu v absolutní hodnotě. Tedy pro x<2.

Nejprve pro kladný čitatel a záporný jmenovatel:

Pro čitatel tedy:

-x+2 > 2

x<2

Pro jmenovatel:

(2x+5)x < 0

Což je totéž, co před tím. Tedy interval (-5/2; 0). Pokud má tento interval platit současně s x<2, zbyde jen tento interval, tedy (-5/2;0). Máme nějakou první hodnotu, výborně 😉

No a na konec pro záporný čitatel a kladný jmenovatel.

Záporný čitatel:

-x+2<0

x>2

No a stejně jako o pár vzorečků výše, toto nedá žádné řešení, čili hotovo. 😉

Co nám tedy zbylo -- pouze interval (-5/2;0). Nicméně nesmíme zapomenout, že v zadání bylo "menší nebo rovno nule" -- a pro nulu jsme spočítali, že se jedná o bod "2". Celé řešení je tedy sjednocením (jak jsem psal výše) těchto hodnot a intervalů: Tedy:

x \in (-\frac{5}{2}; 0) \cup {2}

Nezapomeňte, že závorky jsou kulaté -- počítali jsme pro "menší než" a slepili to nakonec s hodnotou pro "rovno" 😉

Řešení rovnice s kombinačními čísly:

Tady je to velmi jednoduché. Je třeba si uvědomit základní "vzoreček" pro výpočet kombinačního čísla:

{{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Čili jednoduše pro zadání:

2{{x-1}\choose{2}}-2 = 2{{x}\choose{3}}

2 \frac{(x-1)!}{2!(x-1-2)!}-2 = 2 \frac{x!}{3!(x-3)!}

Takže teď se jen triviálně zbavit faktoriálů:

2 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2!(x-3)!}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3!(x-3)!}

Poškrtáme, co jde, faktoriály čísel převedeme na obyč čísla:

2 \frac{(x-1)(x-2)}{2}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)}{6}

Nu a tohle už bychom měli snadno vyřešit:

(x-1)(x-2)-2 = \frac{x(x-1)(x-2)}{3}

x^2-3x+2 - 2 = \frac{1}{3} x (x^2-3x+2)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3-3x^2+2x)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3) - x^2+\frac{2}{3}x

-\frac{1}{3}(x^3) +x^2 + x^2 -3x -\frac{2}{3}x = 0

-\frac{1}{3}(x^3) +2x^2 -\frac{11}{3}x = 0

-x(\frac{1}{3}(x^2) +2x -\frac{11}{3}) = 0

Tady rovnou vidíme možnost tří kořenů. Jede je automaticky hned x=0, to je jasné. Další kořeny však vyjdou komplexně, čili kořeny neřeším (zadání je v oboru přir. čísel) 😉 Řešení je tedy x=0 😉 FFFUUU! 😉

Určete graficky komp. čísla z, která jsou řešením soustavy nerovnic:

\mathrm{Re}~z > \mathrm{Im}~z

|z| < 1

Řešení je opravdu prosté. Nakreslíme si reálnou a imaginární osu a zjistíme, pro které reálné koeficienty platí, že jsou větší, než imaginární:

re_im_všechno

Pokud omluvíte mé umělecké schopnosti v malování tedy 😀 Ale jak vidíte, je to jasné -- všecko, co je pod čarou (!! bacha, bez čáry, má to být menší a ne menší nebo rovno !!) a i co je pod osou X, prostě "všude dole" už, vyhovuje první rovnici.

Zapracujeme na druhé rovnici -- ta nám říká, že máme vybrat pouze hodnoty pro absolutní hodnotu menší, než "1". Bude to tedy kroužek o poloměru "1" kolem bodu [0, 0]. A řešením je to, co se nachází v průniku tohoto kroužku (bez okraje, má být menší, než 1!) a této oblasti pod čarou, tedy něco jako zde, vše co je zelené bez oranžové je vlastně výsledek 😉

re_im_ořez

Nu a vektory (poslendí příklad) budu řešit až v neděli (dnes), takže očekávejte, pokud to někdo sledujete, nějaké řešení 😉 Zatím 😉

Tož vektory jsou vyřešené, avšak v samostatném článku 😉

[wpba-attachment-list]

FPV -- řešený zkouškový test A

Řešení (a proč je to tak řešeno) zkouškového testu A z FPV:

1. Fyzikální rozměr jednotky momentu síly je:

a) kg*m2*s-2     b) kg2*m*s-2   c) kg*m*s-2   d) kg2*m3

Důvod je jasný -- jednotka momentu síly je Nm (Newton metr). 1 N je síla působící tělesem 1 kg při zrychlení 1 m s^-2. Fyzikální rozměr jednoho N je tedy kg m s^-2. N m má tedy rozměr kg m^2 s^-2.

2. Který z následujících převodů jednotek je chybně?

a) 0,12 m2 = 1200 cm2        b) 3,9 l = 3900 cm3       c) 0,124 m3 = 124 l       d) 4150 mm2 = 4,15 dm2

Tady je řešení opět jasné, stačí jen převádět správně 😉

4. Jaký úhel spolu svírají tečné a normálové zrychlení při křivočarém pohybu hmotného bodu?

a) 0º    b) 180 º   c) 90º   d) 30º

Opět jasné -- tečna a normála svírá prostě 90° 😉

5. Srazí se dva přímo proti sobě jedoucí vozíky, z nichž první má hmotnost 2 kg a rychlost 35 m*s-1 a druhý hmotnost 5 kg a rychlost 14 m*s-1. Po srážce dojde ke spojení obou vozíků. Jaká je velikost rychlosti spojeného systému?

 a) 20 m*s-1   b) 10 m*s-1    c) 0 m*s-1   d) 5 m*s-1

Jak tohle spočíst? Jednoduše -- do rovnosti dáme hybnosti:

m_1 v_1 = m_2 v_2

2 kg \cdot 35 ms^{-1} = 5 kg \cdot 14 ms^{-1}

a zjistíme, že jsou stejné. Výsledná hybnost je tedy:

p = p_2 - p_1 = 0

A z toho logicky vyplývá, že i výsledná rychlost bude nulová. Pokud by hybnosti nesouhlasily (při jiném zadání hodnot), odečetli bychom jednoduše hybnosti od sebe a pokud známe hybnost výsledné soustavy a celkovou hmotnost soustavy (součet dílčích hmotností), potom snadno spočítáme i výslednou rychlost soustavy.

Pokud by tedy příklad byl zadán  tak, že druhé (těžší) těleso nepojede 14, ale 15 metrů/sekundu, platilo by:

p = p_2 - p_1 = m_2 v_2 - m_1 v_1 = 15\cdot5 - 2\cdot35 = 5 {~} \mathrm{kg m s^{-1}}

Což je důkaz toho, že těleso se bude pohybovat výslednou rychlostí odvozenou jako:

v = \frac{p}{m} = \frac{p}{m_1 + m_2} = \frac{5}{2+5} = \frac{5}{7} ~\mathrm{ms^{-1}}

6. V kterém z následujících případů musím k výpočtu práce nutně použít integrál?

a) vytahování cihly do výšky h v homogenním tíhovém poli bez odporu vzduchu
b) překonávání stálé odporové síly vzduchu působící proti směru pohybu
c) překonávání stále odporové síly působící pod úhlem 30 stupňů na směr pohybu
d) překonávání proměnné odporové síly působící proti směru pohybu

Tady je řešení též evidentní. Použít ho samozřejmě můžeme ve všech případech, ale pokud jde o musíme, potom jedině tam, kde máme různě spojitě proměnné síly, např. v uvedeném případě.

7. Podle 2. Keplerova zákona má Země při oběhu  kolem Slunce největší rychlost v

a) perihéliu, jež je nejdál od Slunce    b) perihéliu, jež je neblíž ke Slunci
c) aféliu, jež je nejdál od Slunce   d) aféliu, jež je nejblíž ke Slunci

Řešení je evidentní; podle 2. Keplerova zákona je pohyb nejrychlejší tam, kde je k hmotnému bodu těleso nejblíže (průvodič musí opsat pořád stejnou plochu).

8. Máme válec, kouli a obruč se stejnou hmotností a stejným poloměrem. Které z těchto těles bude mít největší moment setrvačnosti vůči ose symetrie tělesa?

 a)      válec b) obruč  c) válec a obruč budou mít stejný a větší než koule  d) koule

Největší moment setrvačnosti má těleso, které má co nejvíce hmotnosti "na kraji" a co nejméně "uprostřed".  A z uvedených je to obruč.

Pro tentokrát toho necháme, později doplním další odpovědi a řešení příkladů.

 

 

KGE/MG -- Kde vychází a zapadá Slunce?

Dalším podobným příkladem, jako zjištění kdy zapadá Slunce, je zjištění místa (tedy azimutu) Slunce, které akorát vyjde.

Vyjdeme z velmi podobných podmínek, jako minule -- výška Slunce nad obzorem při východu je opět 0°, čímž se nám výpočet velmi zjednoduší. Azimut je úhel, který svírá přímka vedena pozorovatelem a místem věci, kterou pozorujeme s rovinou pozorovatele a jižního bodu (azimut 0°).  Pokud Slunce zapadá, bude mít kladný azimut, pokud vychází, buď záporný anebo "okolo" kolem 270°.

Ze sférického trojúhelníku však neznáme (pokud známe lokaci pozorovatele a deklinaci) některé souřadnice a museli bychom si je vypočítat (např. pomocí výpočtů z minula) => musí existovat jednodušší cesta. Azimut jako takový ve sférickém trojúhelníku není, ale je zde doplněk k tomuto úhlu, nazvěme ho omega. A hledáme-li omegu, už počítat můžeme.

Využijeme tedy znovu věty o straně, tentokrát o straně p, kde ze známých hodnot:

p = 90-\delta
z=90
90-\phi

Vypočteme:

\cos p = \cos z \cos (90-\phi) + \sin z \sin (90-\phi) \cos \omega

Snadno si zjednodušíme život tím, že první člen víme, že bude nulový (cos 90 ° je nula), čili nám zbyde pouze druhá část:

\cos p = \sin z \sin (90-\phi) \cos \omega

A z toho už omegu vyjádříme velmi snadno:

\omega = \arccos \frac{\cos p}{\sin z \sin (90-\phi)}

A nesmíme zapomenout omegu odečíst od 180 ° (omega je pouze doplňkový úhel!) 😉 Azimut je na světě 😉

CBG/GEO -- Přednášky

V tomto příspěvku se postupně budou objevovat všechny přednášky k předmětu CBG/GEO, které pořídím. Doufám, že se v mém písmu dokážete nějak rozumně vyznat 😀

Galerie je klasicky klikací, pokud byste daný obrázek chtěli vidět v "plné kráse", stačí dole kliknout na "Download in high resolution" 😉

KGE/MG -- Výpočet světlé délky dne a kdy vyjde a zapadne slunce

Jak bylo slíbeno, na cvičení jsme počítali délku světlého dne, poté čas východu a západu Slunce. Pojďme na to 🙂

Výpočet světlé délky dne

Co je to vlastně "světlá délka dne"? Logicky to je vlastně doba, kdy je nad obzorem vidět Slunce. Vyjdeme tak z kosinovy věty o straně a namísto úhlu (výšky nad obzorem) dosadíme "nulu" -- čímž se nám výraz značně zjednoduší a získáme tím krásě potřebnou dobu.

Budeme tedy počítat hodinový úhel t a vyjádříme si jeho dvojnásobek (pokud je doba t čas od kulminace k západu a současně čas od východu ke kulminaci...)

První předpoklad tedy je, že světlá doba dne se vypočte jako:

T=2t

kde t je hodinový úhel a T je právě světlá doba dne. Teď už nám tedy stačí spočítat (pro dané zeměpisné souřadnice) právě hodinový úhel při západu (či východu) slunce.

Vyjděme ze základních souřadnic:

Zeměpisná šířka: 50° (tedy Praha)
Deklinace daný den: -8°

Nejprve tedy spočteme zenitovou vzdálenost (vzdálenost od zenitu):

z=90^\circ-h=90^\circ

To je prosté, protože v době západu či východu je prostě úhel 90 stupňů 🙂 Podle kosínové věty pro sférický trojúhelník opět můžeme určit, že:

\cos z = \cos p \cos (90-\phi) + \sin p \sin (90-\phi) \cos t

čili jsme schopni vyjádřit:

\cos t = - \frac{\cos p \cos (90-\phi)}{\sin p \sin (90-\phi)}

Proč tak jednoduše? Pokud víme, že měříme dobu do západu slunce (či od východu) k poledni, tíme, že kosínus 90 je nula. Čili se nám to krásně zjednoduší.

Po dosazení hodnot jednoduše tedy t = 80°27', čili 5 hodin, 21 minut a 48 sekund. Délka světlého dne je tedy 10 hodin, 43 minut a 36 sekund.

KGE/MG -- Astronomické souřadnice

V dnešní přednášce z KGE/MG se to jen hemžilo novými pojmy, proměnnými a výrazy, takže dokud to mám v hlavě...

Základní pojmy

  • Nebeská sféra: Jedná se o kulovou plochu nebo někdy jen polokouli,  v jejímž středu stojí pozorovatel (nacházející se na povrchu Země) dívající se na noční oblohu a do které se promítá pohyb všech viditelný těles vesmíru.
  • Rovina ekliptiky: Ekliptika je průsečnice, v níž rovina dráhy Země kolem Slunce protíná nebeskou sféru. Rovina ekliptiky je tedy rovina touto kružnicí proložená.
  • Světový severní a jižný pól: Jedná se o body, které leží na protažené zemské ose a nebeské sféře (v bodě průsečíku).
  • Světový rovník: Jedná se o průsečík roviny zemského rovníku s nebeskou sférou.
  • Místní poledník: Spojnice severního a jižního zemského pólu, která prochází pozorovatelem.
  • Obzorník: Jedná se vlastně o horizont, tedy průsečík s nebeskou sférou, který nám rozděluje pohled (pozorovateli tedy) na dvě části; jednu, kterou vidí a druhou, kterou nevidí (zákryvem Země).  Obzorník nám definuje ještě další body -- severní, jižní, západní a východní body obzoru, což jsou body, které leží v průsečíku nebeské sféry, obzorníku a roviny místního poledníku.  Tedy v místě, kde se pozorovateli jeví sever, tak promítneme-li ho na nebeskou sféru, tam je severní bod obzoru atd.
  • Zenit, nadir: Nadhlavník (a podhlavník) je místo přímo nad (či pod) hlavou pozorovatele, tedy průsečík přímky kolmo k rovině obzorníku a pozorovatele. Nadir nikdy nevidíme, protože je pořád zakrytý Zemí.
  • Meridián: Průsečík roviny místního poledníku a nebeské sféry.
  • Jarní a podzimní bod: Místa, kam se Slunce promítne, když nastává astronomické jaro (či podzim). Alternativně též průsečík roviny ekliptiky a světového rovníku.
  • Jižní (severní) bod světového rovníku: Bod v průsečíku roviny světového rovníku a nebeské sféry.
Pojmy, astronomické souřadnice, zdroj: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Nebeska_sfera_pozorovatel.cs.svg
Pojmy a astronomické souřadnice.
Zdroj obrázku: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Nebeska_sfera_pozorovatel.cs.svg

Po drobném "nálevu" různých termínů se pusťme do dalších -- tentokrát různých souřadnic. Začnněme těmi, na které má vliv poloha pozorovatele:

Součadnice s vlivem pozorovatele

  • Výška (h): Jedná se o úhel, který svírá v rovině vytknuté pozorovatelem, daným objektem (např. hvězdou) a obzorníkem (kolmicí na něho). Je to tedy "výška nad obzorem".
  • Azimut (A): Azimut je úhel, který počítáme od 0° do 360° ve směru hodinových ručiček od roviny místního poledníku směrem na Jih. Tedy v pravé poledne (zjednodušeně) máme azimut slunce 0 °.

Souřadnice bez vlivu polohy pozorovatele

  •  Deklinace: Deklinace je úhlová vzdálenost tělesa severně nebo jižně od světového rovníku. Je kladná směrem k severnímu světovému pólu a záporná k jižnímu světovému pólu. Deklinace je tedy vlastně podobná "výšce" z předchozí části textu. Všechna tělesa mají stejnou deklinaci, až na Slunce, které je výjimkou (z důvodu zemského oběhu kolem něho), deklinace Slunce se tedy mění od -23,5°--23,5°.
  • Pólová vzdálenost: Doplněk do 90 ° od deklinace, podobně jako jsme používali pólovou vzdálenost od severního pólu v příspěvku o výpočtech na kouli.
  • Rektascenze: Jedná se o úhel (značen alfa) udávaný v hodinách, který svírá rovina procházející světovými póly a nebeským tělesem s rovinou procházející světovými póly a jarním bodem.
  • Hodinový úhel: Úhel (v hodinách opět) od jižního rovníkového bodu k rovině objektu. Pro Slunce počítáme jako dobu od kulminace (od nejvyššího bodu během dne).

Nautický trojúhelník

Nyní trochu teoreticky k výpočtům. Stejně jako na kouli používáme sférický trojúhelník, i zde používáme sférický trojúhelník, který je zobrazen na kulové ploše nebeské sféry. Tento trojúhelník je veden mezi severním světovým pólem, zenitem a pozorovaným objektem.

Vzdálenost mezi objektem a světovým severním pólem značíme jako pólová vzdálenost (jedná se o tutéž pólovou vzdálenost, o které píšu výše), vzdálenost mezi zenitem a objektem jako zenitová vzdálenost.

Po pondělním cvičení sepíšu i něco o výpočtech v tomto trojúhelníku.

KGE/MG -- Další výpočty na kouli

Na dalším cvičení jsme dělali (resp. pokračovali) s dalšími výpočty na kouli (referenční kouli nahrazující Zemi).

Výpočty vzdáleností dvou bodů, pokud známe jejich zeměpisné souřadnice

Můžeme rozdělit na takové základní 3 případy:

  1. Body se nachází na stejné rovnoběžce
  2. Body se nachází na stejném poledníku
  3. Body se nachází obecně

Budeme dále počítat, že pokud se body nachází např. na stejné rovnoběžce, bude i vzdálenost těchto bodů vedena po rovnoběžce, tedy ne nejkratší vzdáleností. Totéž platí i o poledníku. V případě výpočtů s obecnými body protneme body hlavní kružnici a tím docílíme výpočtu po nejkratší trase. Zpětně pak zkusíme vypočítat stejný příklad a porovnat rozdíly.

Výpočet vzdáleností po rovnoběžce

 Pro výpočet vzdálenosti po rovnoběčce platí vztah:

x=\mathrm{R}\cos{\phi}\mathrm{arc} \Delta\lambda

Počítáme-li tedy např. s Prahou (na 50. rovnoběžce, 14° vých. délky) a pobřežím v USA (resp. už Kanady) s délkou -56 °, potom dostaneme:

x=\mathrm{6371}\cos{50}\mathrm{arc} (14+56)=5003 \, \mathrm{km}

Výpočet vzdáleností po poledníku

Zde je situace mnohem jednodušší, protože poledníky jsou všechny stejně dlouhé a počítáme pouze část kružnice.

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arc}\Delta\phi

Tedy např. pro Prahu a bod, který se nachází na rovníku platí:

x=\mathrm{6371}\cdot\mathrm{arc}50=5560\,\mathrm{km}

Výpočet vzdáleností dvou obecných bodů

Jak jsem uvedl v úvodu, je potřeba těmito body protnout hlavní kružnici, po které jsou vzdálenosti nejkratší.  Využijeme kosínovy věty o straně na sférickém trojúhelníku mezi těmito dvěma body a severním pólem.

\cos{v}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\cos{\gamma}

kde gamma odpovídá rozdílu délek. Za a a b dosadíme "úhlová vzdálenost od pólu". To je vzdálenost (ve stupních) od pólu. Např. 50. rovnoběžka je 90-50, tedy 40 stupňů. např. pro náš výpočet, který jsme provedli pro vzdálenost Prahy a pobřeží kanady platí:

V=\cos{v}=\cos{40}\cos{40}+\sin{40}\sin{40}\cos{(14+56)}=0.728138

To nám však k ničemu moc nepomůže, máme akorát kosínus daného čísla -- vynásobíme proto R a převedeme na úhel (tedy arcosinus) a vyjde nám:

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arcos}\mathrm{V}=4811\,\mathrm{km}

Jak vidíme, rozdíl je téměř 200 km! Této nejkratší cestě říkáme "po ortodromě", kde ortodroma je nejkratší vzdálenost po kouli mezi dvěma body.

V nedaleké budoucnosti sem na web hodím ještě odkaz na jednoduchý výpočtový skript, který tyto věci počítá (např. pro kontrolu, když se učíte na test).

Edit: Nedaleká budoucnost nastala, tady je skript na výpočet, snad funguje dobře a spolehlivě 😉 Zdrojový kód si můžete stáhnout z tohoto odkazu, soubor coordinates.zip. Na výpočet můžete přímo odkázat jako na adresu, takže můžete své výpočty klidně sdílet 😉 😉

KGE/MG -- 1. cvičení -- výpočty na kouli

Dnes proběhlo první cvičení (resp. seminář) z předmětu KGE/MG, matematická geografie. Cílem cvičení bylo představit a odvodit 4 základní vzorce pro výpočty na kouli.

Proměnné, které se budou hodit:

Než začneme,  určitě nebude od věci říci, že výpočty provádíme na referenční kouli (nikoliv geoidu, to bychom se zbláznili 🙂 ) a pak se hodí také představit proměnné, které se budeme používat:

  • \phi: úhel (ve stupních) zeměpisné šířky. Např. Praha je kolem 50. stupně.
  • \mathrm{R}: poloměr Země (6371 km)
  • \lambda: úhel (ve stupních) zeměpisné délky.

Výpočet délky rovnoběžky (či její části)

Rovnoběžky jsou obyčejné kruhy, jejichž poloměr je různý se zeměpisnou šířkou. Z toho se musí i vycházet. Nejdelší rovnoběžkou je rovník, nultý stupeň. Limitně nejkratší je pól, kde délka limitně dosahuje délky 0. Vzorec pro výpočet délky:

d_{r \phi} =\mathrm{R}\cos\phi\mathrm{arc}(\Delta\lambda)

Při výpočtu si dejte bacha na sčítání a odečítání souřadnic (resp. úhlů), protože jasné, že pokud mám 20 a -10, bude rozdíl 30 stupňů a ne 10 😉 😉

Výpočet délky poledníku

Poledník je klasická půlkružnice, která má na referenční kouli stejnou délku jako půl rovníku. Výpočet délky je tedy velmi podobný, obecně tedy:

d = \mathrm{R}\cos{0} \mathrm{arc}180 = \pi\mathrm{R}

Plocha zeměpisné sítě

Plochou zeměpisné sítě rozumíme výseč ohraničená dvěmi rovnoběžkami a dvěma poledníky.  Tedy:

S = R^2\mathrm{arc}(\Delta\phi)(\sin\phi_1-\sin\phi_2)

Výpočet viditelného horizontu

Jednoduše se jedná (jak je z názvu jasné) o výpočet plochy, kterou je schopen pozorovatel vidět z určité výšky nad koulí.

S=\pi d^2

S=2\pi\mathrm{R}h

a můžeme tedy v klidu tvrdit, že

\pi d^2 = 2\pi\mathrm{R}h

a tohoto (a těchto obecně) vztahů použít pro výpočet plochy, vzdálenosti vidění atd.