EMG — integrování

Dnes jsme děla­li tako­vý leh­ký úvod do inte­gro­vá­ní, ve své pod­sta­tě k tomu není moc co říci, důle­ži­té je zapa­ma­to­vat si, jak se inte­gru­jí poly­no­my:

\int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}

Dále pak posun cosi­nus => sinus a sinus => -cosi­nus. Nedo­kon­či­li jsme „per par­tes“, ale to je tri­vi­ál­ní, sta­čí si uvě­do­mit, jak vypa­dá deri­va­ce sou­či­nu:

(xy)' = x'y + xy'

To celé zin­te­gru­je­me (kaž­dý člen poly­no­mu zvlášť):

\int (xy)' = \int x'y + \int xy'

Deri­va­ce se nám s inte­grá­lem „pože­re“ a máme výsled­né:

xy = \int x'y + \int xy'

Kte­ré upra­ví­me tře­ba na:

\int x'y = xy - \int xy'

No a to už dále pak nor­mál­ně řeší­me.

Ohled­ně sub­sti­tu­cí; to je ješ­tě snaz­ší. Abychom nemu­se­li řešit něja­kou šíle­nou slo­že­nou funk­ci tře­ba, vymys­lí­me si „chytrou“ sub­sti­tu­ci a vyře­ší­me s ní. Napří­klad pro jed­no­du­ché:

\int sin(Ax) dx

Zvo­lí­me sub­sti­tu­ci za „Ax = p“ a dosa­dí­me:

Ax = p \\A dx = dp \\dx = \frac{dp}{A}

\int sin(p) \frac{dp}{A} = \frac{1}{A} \int sin(p) dp = -\frac{1}{A} cos(p)

A dosa­dí­me nazpět:

-\frac{1}{A} cos(Ax)

A je hoto­vo 😉

Napsat komentář