MMM1 pondělní test

Ahoj všem, dávám sem (alespoň některé) řešené úlohy, které budou (ze vzorového testu, který je dole pod příspěvkem přiložen). A kdybyste mi tu našli nějakou nesrovnalost, chybu, špatnej postup -- tak mi halvně dejte vědět 😉 😉

Určete obor pravdivosti nerovnice:

Jedná se o nerovnici:

\frac{|x-2|}{(2x+5)x} \leq 0

Ze všeho nejdříve je potřeba si uvědomit, že se jedná o výpočet s absolutní hodnotou. Příklad proto rozdělíme na dvě části -- na část, kdy "věc" v absolutní hodnotě je kladná (a absolutní hodnotu tedy slušně ignorujeme) a na situaci, kdy předpokládáme, že "věc" v absolutní hodnotě je záporná. Naštěstí pro nás máme pouze jednu absolutní hodnotu, jinak bychom museli určit tuto pro všechny absolutní hodnoty.

První situace -- předpokládáme kladnou hodnotu v abs. hodnotě:

Budeme tedy abs. hodnotu ignorovat: (s kladným číslem abs() nic neudělá, takže jako by tam nebyla...)

\frac{x-2}{(2x+5)x} \leq 0

a vyřešíme situaci, pro která x daná věc platí. Jeden bod vidíme hned, a to sice "nulový" -- chceme-li mít zlomek nulový, stačí čitatel nulový. Potom pro:

x-2=0, -x+2 = 0

takže

x=2

"Dělícím" bodem je tedy x=2, čili teď budeme rozhodovat na "kladnost" podle toho, jestli x<2, anebo x>2 a pak vyřešíme pro každou oblast zvlášť. Tyto oblasti spojíme sjednocením, protože platí, že platí pro nějakou část jedno řešení a pro nějakou část další řešení.

Vezměme to tedy pěkně zprava -- pokud je tedy x>2. Pokud tedy tuto platí, je i výraz v abs. hodnotě vždy kladný a potom píšeme:

\frac{x-2}{(2x+5)x} < 0

Pokud hledáme zlomek (podíl), který má být menší nule (záporný), potom musí být čitatel kladný a jmenovatel záporný anebo naopak. Musíme zde tedy rozdělit řešení na dvě podčásti:

Nejprve varianta kladný čitatel a záporný jmenovatel:

x-2 > 0

x>2

A pro jmenovatel:

(2x+5)x < 0

Výraz odpovídá konvexní parabole, jejíž kořeny jsou -5/2 a 0. Záporná se nachází jen mezi těmito body, čili platí, že:

-5/2 < x < 0

Obě řešení musí platit současně, čili tato varianta nemá řešení. Jupí. Jdeme na druhou možnost -- záporný čitatel a kladný jmenovatel.

Pro čitatel tedy:

x-2<0

x<2

Hodnota čitatele tedy vyšla x<2, nicméně řešíme eventualitu, kdy x musí být větší 2, čili neexistuje průnik těchto dvou množin a řešení opět neexistuje (druhou část ani řešit nemusíme). Jupí podruhé 😉

Nyní zbývá jen jednoduše spočítat totéž ale pro opačnou hodnotu výrazu v absolutní hodnotě. Tedy pro x<2.

Nejprve pro kladný čitatel a záporný jmenovatel:

Pro čitatel tedy:

-x+2 > 2

x<2

Pro jmenovatel:

(2x+5)x < 0

Což je totéž, co před tím. Tedy interval (-5/2; 0). Pokud má tento interval platit současně s x<2, zbyde jen tento interval, tedy (-5/2;0). Máme nějakou první hodnotu, výborně 😉

No a na konec pro záporný čitatel a kladný jmenovatel.

Záporný čitatel:

-x+2<0

x>2

No a stejně jako o pár vzorečků výše, toto nedá žádné řešení, čili hotovo. 😉

Co nám tedy zbylo -- pouze interval (-5/2;0). Nicméně nesmíme zapomenout, že v zadání bylo "menší nebo rovno nule" -- a pro nulu jsme spočítali, že se jedná o bod "2". Celé řešení je tedy sjednocením (jak jsem psal výše) těchto hodnot a intervalů: Tedy:

x \in (-\frac{5}{2}; 0) \cup {2}

Nezapomeňte, že závorky jsou kulaté -- počítali jsme pro "menší než" a slepili to nakonec s hodnotou pro "rovno" 😉

Řešení rovnice s kombinačními čísly:

Tady je to velmi jednoduché. Je třeba si uvědomit základní "vzoreček" pro výpočet kombinačního čísla:

{{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Čili jednoduše pro zadání:

2{{x-1}\choose{2}}-2 = 2{{x}\choose{3}}

2 \frac{(x-1)!}{2!(x-1-2)!}-2 = 2 \frac{x!}{3!(x-3)!}

Takže teď se jen triviálně zbavit faktoriálů:

2 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2!(x-3)!}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3!(x-3)!}

Poškrtáme, co jde, faktoriály čísel převedeme na obyč čísla:

2 \frac{(x-1)(x-2)}{2}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)}{6}

Nu a tohle už bychom měli snadno vyřešit:

(x-1)(x-2)-2 = \frac{x(x-1)(x-2)}{3}

x^2-3x+2 - 2 = \frac{1}{3} x (x^2-3x+2)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3-3x^2+2x)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3) - x^2+\frac{2}{3}x

-\frac{1}{3}(x^3) +x^2 + x^2 -3x -\frac{2}{3}x = 0

-\frac{1}{3}(x^3) +2x^2 -\frac{11}{3}x = 0

-x(\frac{1}{3}(x^2) +2x -\frac{11}{3}) = 0

Tady rovnou vidíme možnost tří kořenů. Jede je automaticky hned x=0, to je jasné. Další kořeny však vyjdou komplexně, čili kořeny neřeším (zadání je v oboru přir. čísel) 😉 Řešení je tedy x=0 😉 FFFUUU! 😉

Určete graficky komp. čísla z, která jsou řešením soustavy nerovnic:

\mathrm{Re}~z > \mathrm{Im}~z

|z| < 1

Řešení je opravdu prosté. Nakreslíme si reálnou a imaginární osu a zjistíme, pro které reálné koeficienty platí, že jsou větší, než imaginární:

re_im_všechno

Pokud omluvíte mé umělecké schopnosti v malování tedy 😀 Ale jak vidíte, je to jasné -- všecko, co je pod čarou (!! bacha, bez čáry, má to být menší a ne menší nebo rovno !!) a i co je pod osou X, prostě "všude dole" už, vyhovuje první rovnici.

Zapracujeme na druhé rovnici -- ta nám říká, že máme vybrat pouze hodnoty pro absolutní hodnotu menší, než "1". Bude to tedy kroužek o poloměru "1" kolem bodu [0, 0]. A řešením je to, co se nachází v průniku tohoto kroužku (bez okraje, má být menší, než 1!) a této oblasti pod čarou, tedy něco jako zde, vše co je zelené bez oranžové je vlastně výsledek 😉

re_im_ořez

Nu a vektory (poslendí příklad) budu řešit až v neděli (dnes), takže očekávejte, pokud to někdo sledujete, nějaké řešení 😉 Zatím 😉

Tož vektory jsou vyřešené, avšak v samostatném článku 😉

[wpba-attachment-list]

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

By submitting this form, you accept the Mollom privacy policy.