MMM1 pondělní test

Ahoj všem, dávám sem (ale­spoň někte­ré) řeše­né úlo­hy, kte­ré budou (ze vzo­ro­vé­ho tes­tu, kte­rý je dole pod pří­spěv­kem při­lo­žen). A kdy­bys­te mi tu našli něja­kou nesrov­na­lost, chy­bu, špat­nej postup — tak mi halv­ně dej­te vědět 😉 😉

Určete obor pravdivosti nerovnice:

Jed­ná se o nerov­ni­ci:

\frac{|x-2|}{(2x+5)x} \leq 0

Ze vše­ho nejdří­ve je potře­ba si uvě­do­mit, že se jed­ná o výpo­čet s abso­lut­ní hod­no­tou. Pří­klad pro­to roz­dě­lí­me na dvě čás­ti — na část, kdy „věc“ v abso­lut­ní hod­no­tě je klad­ná (a abso­lut­ní hod­no­tu tedy sluš­ně igno­ru­je­me) a na situ­a­ci, kdy před­po­klá­dá­me, že „věc“ v abso­lut­ní hod­no­tě je zápor­ná. Naštěs­tí pro nás máme pou­ze jed­nu abso­lut­ní hod­no­tu, jinak bychom muse­li určit tuto pro všech­ny abso­lut­ní hod­no­ty.

Prv­ní situ­a­ce — před­po­klá­dá­me klad­nou hod­no­tu v abs. hod­no­tě:

Bude­me tedy abs. hod­no­tu igno­ro­vat: (s klad­ným čís­lem abs() nic neu­dě­lá, tak­že jako by tam neby­la…)

\frac{x-2}{(2x+5)x} \leq 0

a vyře­ší­me situ­a­ci, pro kte­rá x daná věc pla­tí. Jeden bod vidí­me hned, a to sice „nulo­vý“ — chce­me-li mít zlo­mek nulo­vý, sta­čí čita­tel nulo­vý. Potom pro:

x-2=0, -x+2 = 0

tak­že

x=2

Dělí­cím“ bodem je tedy x=2, čili teď bude­me roz­ho­do­vat na „klad­nost“ pod­le toho, jest­li x<2, ane­bo x>2 a pak vyře­ší­me pro kaž­dou oblast zvlášť. Tyto oblas­ti spo­jí­me sjed­no­ce­ním, pro­to­že pla­tí, že pla­tí pro něja­kou část jed­no řeše­ní a pro něja­kou část dal­ší řeše­ní.

Vez­mě­me to tedy pěk­ně zpra­va — pokud je tedy x>2. Pokud tedy tuto pla­tí, je i výraz v abs. hod­no­tě vždy klad­ný a potom píše­me:

\frac{x-2}{(2x+5)x} < 0

Pokud hle­dá­me zlo­mek (podíl), kte­rý má být men­ší nule (zápor­ný), potom musí být čita­tel klad­ný a jme­no­va­tel zápor­ný ane­bo nao­pak. Musí­me zde tedy roz­dě­lit řeše­ní na dvě pod­čás­ti:

Nej­pr­ve vari­an­ta klad­ný čita­tel a zápor­ný jme­no­va­tel:

x-2 > 0

x>2

A pro jme­no­va­tel:

(2x+5)x < 0

Výraz odpo­ví­dá kon­vex­ní para­bo­le, jejíž koře­ny jsou −5÷2 a 0. Zápor­ná se nachá­zí jen mezi těmi­to body, čili pla­tí, že:

-5/2 < x < 0

Obě řeše­ní musí pla­tit sou­čas­ně, čili tato vari­an­ta nemá řeše­ní. Jupí. Jde­me na dru­hou mož­nost — zápor­ný čita­tel a klad­ný jme­no­va­tel.

Pro čita­tel tedy:

x-2<0

x<2

Hod­no­ta čita­te­le tedy vyšla x<2, nicmé­ně řeší­me even­tu­a­li­tu, kdy x musí být vět­ší 2, čili nee­xis­tu­je prů­nik těch­to dvou mno­žin a řeše­ní opět nee­xis­tu­je (dru­hou část ani řešit nemu­sí­me). Jupí podru­hé 😉

Nyní zbý­vá jen jed­no­du­še spo­čí­tat totéž ale pro opač­nou hod­no­tu výra­zu v abso­lut­ní hod­no­tě. Tedy pro x<2.

Nej­pr­ve pro klad­ný čita­tel a zápor­ný jme­no­va­tel:

Pro čita­tel tedy:

-x+2 > 2

x<2

Pro jme­no­va­tel:

(2x+5)x < 0

Což je totéž, co před tím. Tedy inter­val (−5÷2; 0). Pokud má ten­to inter­val pla­tit sou­čas­ně s x<2, zby­de jen ten­to inter­val, tedy (-5/2;0). Máme něja­kou prv­ní hod­no­tu, výbor­ně 😉

No a na konec pro zápor­ný čita­tel a klad­ný jme­no­va­tel.

Zápor­ný čita­tel:

-x+2<0

x>2

No a stej­ně jako o pár vzo­reč­ků výše, toto nedá žád­né řeše­ní, čili hoto­vo. 😉

Co nám tedy zby­lo — pou­ze inter­val (-5/2;0). Nicmé­ně nesmí­me zapo­me­nout, že v zadá­ní bylo „men­ší nebo rov­no nule“ — a pro nulu jsme spo­čí­ta­li, že se jed­ná o bod „2“. Celé řeše­ní je tedy sjed­no­ce­ním (jak jsem psal výše) těch­to hod­not a inter­va­lů: Tedy:

x \in (-\frac{5}{2}; 0) \cup {2}

Neza­po­meň­te, že závor­ky jsou kula­té — počí­ta­li jsme pro „men­ší než“ a sle­pi­li to nako­nec s hod­no­tou pro „rov­no“ 😉

Řešení rovnice s kombinačními čísly:

Tady je to vel­mi jed­no­du­ché. Je tře­ba si uvě­do­mit základ­ní „vzo­re­ček“ pro výpo­čet kom­bi­nač­ní­ho čís­la:

{{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Čili jed­no­du­še pro zadá­ní:

2{{x-1}\choose{2}}-2 = 2{{x}\choose{3}}

2 \frac{(x-1)!}{2!(x-1-2)!}-2 = 2 \frac{x!}{3!(x-3)!}

Tak­že teď se jen tri­vi­ál­ně zba­vit fak­to­ri­á­lů:

2 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2!(x-3)!}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3!(x-3)!}

Poškr­tá­me, co jde, fak­to­ri­á­ly čísel pře­ve­de­me na obyč čís­la:

2 \frac{(x-1)(x-2)}{2}-2 = 2 \frac{x(x-1)(x-2)}{6}

Nu a tohle už bychom měli snad­no vyře­šit:

(x-1)(x-2)-2 = \frac{x(x-1)(x-2)}{3}

x^2-3x+2 - 2 = \frac{1}{3} x (x^2-3x+2)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3-3x^2+2x)

x^2-3x = \frac{1}{3}(x^3) - x^2+\frac{2}{3}x

-\frac{1}{3}(x^3) +x^2 + x^2 -3x -\frac{2}{3}x = 0

-\frac{1}{3}(x^3) +2x^2 -\frac{11}{3}x = 0

-x(\frac{1}{3}(x^2) +2x -\frac{11}{3}) = 0

Tady rov­nou vidí­me mož­nost tří koře­nů. Jede je auto­ma­tic­ky hned x=0, to je jas­né. Dal­ší koře­ny však vyjdou kom­plex­ně, čili koře­ny neře­ším (zadá­ní je v obo­ru přir. čísel) 😉 Řeše­ní je tedy x=0 😉 FFFUUU! 😉

Určete graficky komp. čísla z, která jsou řešením soustavy nerovnic:

\mathrm{Re}~z > \mathrm{Im}~z

|z| < 1

Řeše­ní je oprav­du pros­té. Nakres­lí­me si reál­nou a ima­gi­nár­ní osu a zjis­tí­me, pro kte­ré reál­né koe­fi­ci­en­ty pla­tí, že jsou vět­ší, než ima­gi­nár­ní:

re_im_všechno

Pokud omlu­ví­te mé umě­lec­ké schop­nos­ti v malo­vá­ní tedy 😀 Ale jak vidí­te, je to jas­né — všec­ko, co je pod čarou (!! bacha, bez čáry, má to být men­ší a ne men­ší nebo rov­no !!) a i co je pod osou X, pros­tě „všu­de dole“ už, vyho­vu­je prv­ní rov­ni­ci.

Zapra­cu­je­me na dru­hé rov­ni­ci — ta nám říká, že máme vybrat pou­ze hod­no­ty pro abso­lut­ní hod­no­tu men­ší, než „1“. Bude to tedy krou­žek o polo­mě­ru „1“ kolem bodu [0, 0]. A řeše­ním je to, co se nachá­zí v prů­ni­ku toho­to krouž­ku (bez okra­je, má být men­ší, než 1!) a této oblas­ti pod čarou, tedy něco jako zde, vše co je zele­né bez oran­žo­vé je vlast­ně výsle­dek 😉

re_im_ořez

Nu a vek­to­ry (pos­len­dí pří­klad) budu řešit až v nedě­li (dnes), tak­že oče­ká­vej­te, pokud to někdo sle­du­je­te, něja­ké řeše­ní 😉 Zatím 😉

Tož vek­to­ry jsou vyře­še­né, avšak v samo­stat­ném člán­ku 😉

[wpba-atta­chment-list]

Napsat komentář