MMM1 — pondělní test (poslední ukázkový příklad s vektory)

Zde uvá­dím posled­ní pří­klad s vek­to­ry. Snad tam nebu­dou chy­by 😉 Jinak ten­to člá­nek nava­zu­je na člá­nek o 2. tes­tu z MMM1, kte­rý se zde též nachá­zí.

Nej­pr­ve musí­me určit, zda-li jsou vek­to­ry line­ár­ně závis­lé. To zjis­tí­me vel­mi snad­no tím, že vek­to­ry „vecpe­me“ do mati­ce, polo­ží­me rov­nou nulo­vé­mu vek­to­ru a pro­ve­de­me nad mno­ži­nou eli­mi­na­ci:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ -1 & 5 & 2 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}

\thicksim

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Tady vidí­me, že se nám „vyru­šil“ posled­ní řádek, čímž jsme zjis­ti­li odpo­věď na otáz­ku line­ár­ní závis­los­ti — vek­to­ry jsou závis­lé. Nu ale bude­me pokra­čo­vat. Zba­ví­me se ješ­tě něja­kých čísel, nejdří­ve ale vydě­lí­me 2. řádek troj­kou, abychom dosta­li jed­nič­ky a měli „to jed­no­duš­ší“. Vyjde tedy:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Nu a teď jed­no­du­še může­me od 1. řád­ku ode­číst 2. řádek, abychom dosta­li nulu v posled­ním sloup­ci v prv­ním řád­ku.:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -3 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0\end{pmatrix}

Může­me tedy tvr­dit, že:

a_1 - 3a_2 = 0

a_2 + a_3 = 0

a_3 = k

A pak samo­zřej­mě pou­ze dosa­dit, tak­že:

a_2 = -k

a_1 = -3k

Netri­vi­ál­ní řeše­ní tedy máme jako vek­tor:

(-3k, -k, k)

A to je celé, tády­dá­dy­dá 😉

Napsat komentář