MMM1 -- pondělní test (poslední ukázkový příklad s vektory)

Zde uvádím poslední příklad s vektory. Snad tam nebudou chyby 😉 Jinak tento článek navazuje na článek o 2. testu z MMM1, který se zde též nachází.

Nejprve musíme určit, zda-li jsou vektory lineárně závislé. To zjistíme velmi snadno tím, že vektory "vecpeme" do matice, položíme rovnou nulovému vektoru a provedeme nad množinou eliminaci:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ -1 & 5 & 2 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}

\thicksim

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Tady vidíme, že se nám "vyrušil" poslední řádek, čímž jsme zjistili odpověď na otázku lineární závislosti -- vektory jsou závislé. Nu ale budeme pokračovat. Zbavíme se ještě nějakých čísel, nejdříve ale vydělíme 2. řádek trojkou, abychom dostali jedničky a měli "to jednodušší". Vyjde tedy:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix}

Nu a teď jednoduše můžeme od 1. řádku odečíst 2. řádek, abychom dostali nulu v posledním sloupci v prvním řádku.:

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0 \end{pmatrix} \thicksim \begin{pmatrix}1 & -3 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | &0\end{pmatrix}

Můžeme tedy tvrdit, že:

a_1 - 3a_2 = 0

a_2 + a_3 = 0

a_3 = k

A pak samozřejmě pouze dosadit, takže:

a_2 = -k

a_1 = -3k

Netriviální řešení tedy máme jako vektor:

(-3k, -k, k)

A to je celé, tádydádydá 😉

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

By submitting this form, you accept the Mollom privacy policy.