KGE/MG -- Další výpočty na kouli

KGE/MG, Materiály

Na dalším cvičení jsme dělali (resp. pokračovali) s dalšími výpočty na kouli (referenční kouli nahrazující Zemi).

Výpočty vzdáleností dvou bodů, pokud známe jejich zeměpisné souřadnice

Můžeme rozdělit na takové základní 3 případy:

  1. Body se nachází na stejné rovnoběžce
  2. Body se nachází na stejném poledníku
  3. Body se nachází obecně

Budeme dále počítat, že pokud se body nachází např. na stejné rovnoběžce, bude i vzdálenost těchto bodů vedena po rovnoběžce, tedy ne nejkratší vzdáleností. Totéž platí i o poledníku. V případě výpočtů s obecnými body protneme body hlavní kružnici a tím docílíme výpočtu po nejkratší trase. Zpětně pak zkusíme vypočítat stejný příklad a porovnat rozdíly.

Výpočet vzdáleností po rovnoběžce

 Pro výpočet vzdálenosti po rovnoběčce platí vztah:

x=\mathrm{R}\cos{\phi}\mathrm{arc} \Delta\lambda

Počítáme-li tedy např. s Prahou (na 50. rovnoběžce, 14° vých. délky) a pobřežím v USA (resp. už Kanady) s délkou -56 °, potom dostaneme:

x=\mathrm{6371}\cos{50}\mathrm{arc} (14+56)=5003 \, \mathrm{km}

Výpočet vzdáleností po poledníku

Zde je situace mnohem jednodušší, protože poledníky jsou všechny stejně dlouhé a počítáme pouze část kružnice.

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arc}\Delta\phi

Tedy např. pro Prahu a bod, který se nachází na rovníku platí:

x=\mathrm{6371}\cdot\mathrm{arc}50=5560\,\mathrm{km}

Výpočet vzdáleností dvou obecných bodů

Jak jsem uvedl v úvodu, je potřeba těmito body protnout hlavní kružnici, po které jsou vzdálenosti nejkratší.  Využijeme kosínovy věty o straně na sférickém trojúhelníku mezi těmito dvěma body a severním pólem.

\cos{v}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\cos{\gamma}

kde gamma odpovídá rozdílu délek. Za a a b dosadíme "úhlová vzdálenost od pólu". To je vzdálenost (ve stupních) od pólu. Např. 50. rovnoběžka je 90-50, tedy 40 stupňů. např. pro náš výpočet, který jsme provedli pro vzdálenost Prahy a pobřeží kanady platí:

V=\cos{v}=\cos{40}\cos{40}+\sin{40}\sin{40}\cos{(14+56)}=0.728138

To nám však k ničemu moc nepomůže, máme akorát kosínus daného čísla -- vynásobíme proto R a převedeme na úhel (tedy arcosinus) a vyjde nám:

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arcos}\mathrm{V}=4811\,\mathrm{km}

Jak vidíme, rozdíl je téměř 200 km! Této nejkratší cestě říkáme "po ortodromě", kde ortodroma je nejkratší vzdálenost po kouli mezi dvěma body.

V nedaleké budoucnosti sem na web hodím ještě odkaz na jednoduchý výpočtový skript, který tyto věci počítá (např. pro kontrolu, když se učíte na test).

Edit: Nedaleká budoucnost nastala, tady je skript na výpočet, snad funguje dobře a spolehlivě 😉 Zdrojový kód si můžete stáhnout z tohoto odkazu, soubor coordinates.zip. Na výpočet můžete přímo odkázat jako na adresu, takže můžete své výpočty klidně sdílet 😉 😉

Napsat komentář

Vaše emailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *

By submitting this form, you accept the Mollom privacy policy.