KGE/​MG — Další výpočty na kouli

KGE/MG, Materiály

Na dal­ším cvi­če­ní jsme děla­li (resp. pokra­čo­va­li) s dal­ší­mi výpo­čty na kou­li (refe­renč­ní kou­li nahra­zu­jí­cí Zemi).

Výpočty vzdáleností dvou bodů, pokud známe jejich zeměpisné souřadnice

Může­me roz­dě­lit na tako­vé základ­ní 3 případy:

  1. Body se nachá­zí na stej­né rovnoběžce
  2. Body se nachá­zí na stej­ném poledníku
  3. Body se nachá­zí obecně

Bude­me dále počí­tat, že pokud se body nachá­zí např. na stej­né rov­no­běž­ce, bude i vzdá­le­nost těch­to bodů vede­na po rov­no­běž­ce, tedy ne nej­krat­ší vzdá­le­nos­tí. Totéž pla­tí i o poled­ní­ku. V pří­pa­dě výpo­čtů s obec­ný­mi body pro­tne­me body hlav­ní kruž­ni­ci a tím docí­lí­me výpo­čtu po nej­krat­ší tra­se. Zpět­ně pak zku­sí­me vypo­čí­tat stej­ný pří­klad a porov­nat rozdíly.

Výpočet vzdáleností po rovnoběžce

Pro výpo­čet vzdá­le­nos­ti po rov­no­běč­ce pla­tí vztah:

x=\mathrm{R}\cos{\phi}\mathrm{arc} \Delta\lambda

Počí­tá­me-li tedy např. s Pra­hou (na 50. rov­no­běž­ce, 14° vých. dél­ky) a pobře­žím v USA (resp. už Kana­dy) s dél­kou ‑56 °, potom dostaneme:

x=\mathrm{6371}\cos{50}\mathrm{arc} (14+56)=5003 \, \mathrm{km}

Výpočet vzdáleností po poledníku

Zde je situ­a­ce mno­hem jed­no­duš­ší, pro­to­že poled­ní­ky jsou všech­ny stej­ně dlou­hé a počí­tá­me pou­ze část kružnice.

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arc}\Delta\phi

Tedy např. pro Pra­hu a bod, kte­rý se nachá­zí na rov­ní­ku platí:

x=\mathrm{6371}\cdot\mathrm{arc}50=5560\,\mathrm{km}

Výpočet vzdáleností dvou obecných bodů

Jak jsem uve­dl v úvo­du, je potře­ba těmi­to body pro­tnout hlav­ní kruž­ni­ci, po kte­ré jsou vzdá­le­nos­ti nej­krat­ší. Vyu­ži­je­me kosí­no­vy věty o stra­ně na sfé­ric­kém troj­ú­hel­ní­ku mezi těmi­to dvě­ma body a sever­ním pólem.

\cos{v}=\cos{a}\cos{b}+\sin{a}\sin{b}\cos{\gamma}

kde gam­ma odpo­ví­dá roz­dí­lu délek. Za a a b dosa­dí­me „úhlo­vá vzdá­le­nost od pólu“. To je vzdá­le­nost (ve stup­ních) od pólu. Např. 50. rov­no­běž­ka je 90–50, tedy 40 stup­ňů. např. pro náš výpo­čet, kte­rý jsme pro­ved­li pro vzdá­le­nost Pra­hy a pobře­ží kana­dy platí:

V=\cos{v}=\cos{40}\cos{40}+\sin{40}\sin{40}\cos{(14+56)}=0.728138

To nám však k niče­mu moc nepo­mů­že, máme ako­rát kosí­nus dané­ho čís­la — vyná­so­bí­me pro­to R a pře­ve­de­me na úhel (tedy arco­si­nus) a vyjde nám:

x=\mathrm{R}\cdot\mathrm{arcos}\mathrm{V}=4811\,\mathrm{km}

Jak vidí­me, roz­díl je téměř 200 km! Této nej­krat­ší ces­tě říká­me „po orto­dro­mě“, kde orto­dro­ma je nej­krat­ší vzdá­le­nost po kou­li mezi dvě­ma body.

V neda­le­ké budouc­nos­ti sem na web hodím ješ­tě odkaz na jed­no­du­chý výpo­čto­vý skript, kte­rý tyto věci počí­tá (např. pro kon­t­ro­lu, když se učí­te na test).

Edit: Neda­le­ká budouc­nost nasta­la, tady je skript na výpo­čet, snad fun­gu­je dob­ře a spo­leh­li­vě 😉 Zdro­jo­vý kód si může­te stáh­nout z toho­to odka­zu, sou­bor coor​di​na​tes​.zip. Na výpo­čet může­te pří­mo odká­zat jako na adre­su, tak­že může­te své výpo­čty klid­ně sdílet 😉 😉

Napsat komentář