Na dalším cvičení jsme dělali (resp. pokračovali) s dalšími výpočty na kouli (referenční kouli nahrazující Zemi).
Výpočty vzdáleností dvou bodů, pokud známe jejich zeměpisné souřadnice
Můžeme rozdělit na takové základní 3 případy:
- Body se nachází na stejné rovnoběžce
- Body se nachází na stejném poledníku
- Body se nachází obecně
Budeme dále počítat, že pokud se body nachází např. na stejné rovnoběžce, bude i vzdálenost těchto bodů vedena po rovnoběžce, tedy ne nejkratší vzdáleností. Totéž platí i o poledníku. V případě výpočtů s obecnými body protneme body hlavní kružnici a tím docílíme výpočtu po nejkratší trase. Zpětně pak zkusíme vypočítat stejný příklad a porovnat rozdíly.
Výpočet vzdáleností po rovnoběžce
Pro výpočet vzdálenosti po rovnoběčce platí vztah:
Počítáme-li tedy např. s Prahou (na 50. rovnoběžce, 14° vých. délky) a pobřežím v USA (resp. už Kanady) s délkou ‑56 °, potom dostaneme:
Výpočet vzdáleností po poledníku
Zde je situace mnohem jednodušší, protože poledníky jsou všechny stejně dlouhé a počítáme pouze část kružnice.
Tedy např. pro Prahu a bod, který se nachází na rovníku platí:
Výpočet vzdáleností dvou obecných bodů
Jak jsem uvedl v úvodu, je potřeba těmito body protnout hlavní kružnici, po které jsou vzdálenosti nejkratší. Využijeme kosínovy věty o straně na sférickém trojúhelníku mezi těmito dvěma body a severním pólem.
kde gamma odpovídá rozdílu délek. Za a a b dosadíme „úhlová vzdálenost od pólu“. To je vzdálenost (ve stupních) od pólu. Např. 50. rovnoběžka je 90–50, tedy 40 stupňů. např. pro náš výpočet, který jsme provedli pro vzdálenost Prahy a pobřeží kanady platí:
To nám však k ničemu moc nepomůže, máme akorát kosínus daného čísla — vynásobíme proto R a převedeme na úhel (tedy arcosinus) a vyjde nám:
Jak vidíme, rozdíl je téměř 200 km! Této nejkratší cestě říkáme „po ortodromě“, kde ortodroma je nejkratší vzdálenost po kouli mezi dvěma body.
V nedaleké budoucnosti sem na web hodím ještě odkaz na jednoduchý výpočtový skript, který tyto věci počítá (např. pro kontrolu, když se učíte na test).
Edit: Nedaleká budoucnost nastala, tady je skript na výpočet, snad funguje dobře a spolehlivě 😉 Zdrojový kód si můžete stáhnout z tohoto odkazu, soubor coordinates.zip. Na výpočet můžete přímo odkázat jako na adresu, takže můžete své výpočty klidně sdílet 😉 😉