KGE/​MG — 1. cvičení — výpočty na kouli

KGE/MG, Materiály

Dnes pro­běh­lo prv­ní cvi­če­ní (resp. semi­nář) z před­mě­tu KGE/​MG, mate­ma­tic­ká geo­gra­fie. Cílem cvi­če­ní bylo před­sta­vit a odvo­dit 4 základ­ní vzor­ce pro výpo­čty na kouli.

Proměnné, které se budou hodit:

Než začne­me, urči­tě nebu­de od věci říci, že výpo­čty pro­vá­dí­me na refe­renč­ní kou­li (niko­liv geo­i­du, to bychom se zbláz­ni­li 🙂 ) a pak se hodí také před­sta­vit pro­měn­né, kte­ré se bude­me používat:

  • \phi: úhel (ve stup­ních) země­pis­né šíř­ky. Např. Pra­ha je kolem 50. stupně.
  • \mathrm{R}: polo­měr Země (6371 km)
  • \lambda: úhel (ve stup­ních) země­pis­né délky.

Výpočet délky rovnoběžky (či její části)

Rov­no­běž­ky jsou oby­čej­né kru­hy, jejichž polo­měr je růz­ný se země­pis­nou šíř­kou. Z toho se musí i vychá­zet. Nejdel­ší rov­no­běž­kou je rov­ník, nul­tý stu­peň. Limit­ně nej­krat­ší je pól, kde dél­ka limit­ně dosa­hu­je dél­ky 0. Vzo­rec pro výpo­čet délky:

d_{r \phi} =\mathrm{R}\cos\phi\mathrm{arc}(\Delta\lambda)

Při výpo­čtu si dej­te bacha na sčí­tá­ní a ode­čí­tá­ní sou­řad­nic (resp. úhlů), pro­to­že jas­né, že pokud mám 20 a ‑10, bude roz­díl 30 stup­ňů a ne 10 😉 😉

Výpočet délky poledníku

Poled­ník je kla­sic­ká půl­kruž­ni­ce, kte­rá má na refe­renč­ní kou­li stej­nou dél­ku jako půl rov­ní­ku. Výpo­čet dél­ky je tedy vel­mi podob­ný, obec­ně tedy:

d = \mathrm{R}\cos{0} \mathrm{arc}180 = \pi\mathrm{R}

Plocha zeměpisné sítě

Plo­chou země­pis­né sítě rozu­mí­me výseč ohra­ni­če­ná dvě­mi rov­no­běž­ka­mi a dvě­ma poled­ní­ky. Tedy:

S = R^2\mathrm{arc}(\Delta\phi)(\sin\phi_1-\sin\phi_2)

Výpočet viditelného horizontu

Jed­no­du­še se jed­ná (jak je z názvu jas­né) o výpo­čet plo­chy, kte­rou je scho­pen pozo­ro­va­tel vidět z urči­té výš­ky nad koulí.

S=\pi d^2

S=2\pi\mathrm{R}h

a může­me tedy v kli­du tvr­dit, že

\pi d^2 = 2\pi\mathrm{R}h

a toho­to (a těch­to obec­ně) vzta­hů pou­žít pro výpo­čet plo­chy, vzdá­le­nos­ti vidě­ní atd.

Napsat komentář